matematikk.net

Vi har:

Dersom P(x) er av samme grad som Q(x) eller høyere kan integrasjonen trolig forenkles ved å utføre polynomdivisjonen først. Dersom Q(x) er av høyere grad enn P(x) prøver vi med delbrøkoppspalting som går ut på å skrive nevneren som en sum av flere brøker der nevner er av første grad.



Hvorfor må vi utføre polynomdivisjon før vi kan bruke delbrøkoppspalting?

Føler ikke at jeg der får svaret på hvorfor vi må utføre en polynomdivsjon, noen som kan forklare hvorfor?

La oss si du skal integrere:
[tex]\int \frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 + 2x + 1}\,\text{dx}[/tex]

Hvis du utfører en polynomdivisjon, ender du opp med:
[tex]\int 1 + \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]

Siden det er to ledd, kan du ta to integraler.
[tex]\int 1 \,\text{dx} \,+\, \int \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]

Det siste er litt hyggeligere og en litt mer rett-frem delbrøkoppspalting enn den du begynte med, eller hva?

Og du må ikke nødvendigvis utføre en polynomdivisjon, men det kan bli enklere.

Takk:)
Ja, jeg kan ikke forstå hvordan man heller skal kunne bruke delbrøkoppspalting med det første intergralet (der hvor det ikke er utført polynomdivisjon). Det ser umulig ut å få til, men er litt uklart for meg hvorfor:P

Etter polynomdivisjon er også oppspaltinga entydig. I motsatt tilfelle har vi for eksempel [tex]\frac{x^2+3x+4}{x(x-1)}=\frac{x-4}x+\frac8{x-1}=-\frac4x+\frac{x+7}{x-1}[/tex] fordi vi får flere variable enn ligninger når vi prøver å sette opp et system å løse. Dette trenger i grunnen ikke å være et problem, men det er verdt å merke seg.

Tror du at du kunne ha vært så snill å vise hvordan du gjør denne oppspaltingen av en brøk til to ? Hadde vært supert