Betinget sannsynlighet

[olemartinh]

Hei!

Jeg sliter litt med oppgavene i boka under betinget sannsynlighet, og jeg finner aldri en god måte å angripe oppgaven på. (Jeg går ut fra at jeg ikke tenker på riktig måte, og derfor aldri kommer frem til riktig svar)

En eksempeloppgave jeg sliter med:

I et lotteri er det tretti lodd igjen. Tre av loddene gir gevinst. Du kjøper fire lodd, og vennen din kjøper deretter fem lodd. Finn sannsynligheten for at du og vennen din vinner én gevinst hver.

Det jeg har gjort er foreløpig å sette opp følgende hendelser:

A = Jeg vinner en gevinst
B = Vennen min vinner en gevinst

Da vil jeg tro at vi finner sannsynligheten for P(A) ved å bruke formelen:

[tex]P_(A) = \frac{{27\choose3}\cdot{3\choose1}} {30\choose4}[/tex]

Blir ikke det riktig? Neste steg blir vel uansett å regne ut P(B|A), og det er her jeg alltid sliter. Hvordan skal jeg regne meg frem til hva som er [tex]P(A \cap B)[/tex]? Er det noen formel jeg kan bruke for det, eller må jeg sette meg ned å tenke og lage lister over mulige utfall? Jeg er klar over [tex]\frac{gunstige}{mulige}[/tex], men hva er egentlig antall mulige utfall her, og hva er antall gunstige utfall?

[sirins]

For å regne ut P(A) må du vel også bruke opplysningen om at du kjøper 4 lodd?

[olemartinh]

Ja, jeg skrev feil.. Jeg hadde skrevet formelen som om jeg kjøpte 3 lodd, men jeg kjøpte jo 4. Har rettet det nå..

Mitt enkle hode kom frem til denne løsningen (men jeg går utifra at det er feil? Jeg har ikke fasiten her nå, så jeg får sjekke når jeg kommer hjem..)

[tex]P(B|A) = \frac{{24\choose4}\cdot{2\choose1}} {26\choose5}[/tex]

[olemartinh]

Det var jo selvfølgelig feil, ja. Jeg forstår enda ikke helt hvordan jeg skal finne [tex]P(A \cap B)[/tex]?

[sirins]

Mitt enkle hode mener at du har regnet ut [tex]P(A)[/tex] og [tex]P(B|A)[/tex] riktig

Så da kan du vel bruke formelen

[tex]P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}[/tex]

for å finne [tex]P(A \cap B)[/tex]?? Hvis du gjør om litt på formelen selvfølgelig. Har du fasit på denne?

[olemartinh]

Vel, fasiten hevder at [tex]P(B|A)=\frac{3}{29}[/tex], men det var ikke det jeg fant frem til ettersom:

[tex]\begin{eqnarray}P(B|A) & = & \frac{{24 \choose 4}\cdot{2 \choose 1}}{{26 \choose 5}}\\P(B|A) & = & \frac{21}{65}\end{eqnarray}[/tex]

[sirins]

Hmmm, dette var vrange greier..

Men hvis vi nå antar at [tex]P(A)[/tex] og [tex]P(B|A)[/tex] er riktige. Hvis jeg setter disse inn i formelen ovenfor, får jeg at [tex]P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{65}{203} \cdot \frac{21}{65} = \frac{3}{29}[/tex]

Riktig tall, feil sannsynlighet???

[olemartinh]

Tusen takk sirins! Jeg forstår ikke mer nå, heller tvert imot, men det får nesten bare være. Eksamen er rett rundt hjørnet, så jeg får øve på de tingene jeg ser at jeg har mulighet til å forstå.. Men dette var jo ganske morsomt da..

[sirins]

Hehe bare hyggelig Det virker jo som om du har ganske godt grep på sannsynlighetsregninga, bare at denne oppgaven var litt merkelig! Lykke til på eksamen!

[illva]

Sliter litt med denne selv, så hvis noen som har stålkontroll på Sannsynlighet kunne forklart, eller i det minste bekrefte hva som er rett her, hadde det vært topp.

[Realist1]

[tex]P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)[/tex]

Hypergeometri. Finner først:
[tex]P(A) = \frac{{27 \choose 3} \cdot {3 \choose 1}}{{30 \choose 4}} = \frac{2925 \cdot 3}{27405} = \frac{65}{203}[/tex]

Deretter finner vi:
[tex]P(B|A) = \frac{{24 \choose 4} \cdot {2 \choose 1}}{{26 \choose 5}} = \frac{10626 \cdot 2}{65780} = \frac{21}{65}[/tex]

Som sagt:
[tex]P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{65}{203} \cdot \frac{21}{65} = \frac{21}{203} = \underline{\underline{\frac{3}{29}}}[/tex]

[sirins]

Det var det jeg også mente. Men over her sies det jo at fasiten hevder at
[tex]P(B|A)=\frac{3}{29}[/tex]

[Realist1]

I så fall er fasiten feil. Hvor er oppgaven hentet fra?