Hei hei, kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?
Vis at hvis [tex]x>-1[/tex], så er [tex](1+x)^n \geq nx[/tex] for alle hele tall [tex]n\geq 2[/tex].
Det var ingen oppgaver i boken som var tilsvarende, så hadde litt problemer med å "se" denne oppgaven.
Andreas
Induksjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Themaister
- Cayley
- Innlegg: 85
- Registrert: 30/01-2007 15:23
Den var interessant.
Jeg ville ha startet med å sette inn for n = n+1 med en gang
VS = (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) = (1+x)^n + x(1+x)^n
HS = (n+1)x = nx + x
Siden vi kan gå ut i fra at (1+x)^n >= nx, trenger vi bare å bevise at
x(1+x)^n >= x når x > -1
Når -1 < x < 0:
Man kan gjøre dette til et uttrykk
xk^n >= x, der 0 < k < 1 => 0 < k^n < 1
Siden x er her negativt stemmer xk^n > x
x = 0:
Bare å sette inn.
x > 0:
x(1+x)^n >= x
Setter igjen 1+x som k.
xk^n >= x
x > 0 => k > 1 => k^n > 1
Et positivt tall ganger noe som er større enn 1 er større enn det samme positive tallet.
Så er det bare å prøve for n=2
EDIT: Tror jeg har gjort den oppgaven før
Har du Sinus?
Jeg ville ha startet med å sette inn for n = n+1 med en gang
VS = (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) = (1+x)^n + x(1+x)^n
HS = (n+1)x = nx + x
Siden vi kan gå ut i fra at (1+x)^n >= nx, trenger vi bare å bevise at
x(1+x)^n >= x når x > -1
Når -1 < x < 0:
Man kan gjøre dette til et uttrykk
xk^n >= x, der 0 < k < 1 => 0 < k^n < 1
Siden x er her negativt stemmer xk^n > x
x = 0:
Bare å sette inn.
x > 0:
x(1+x)^n >= x
Setter igjen 1+x som k.
xk^n >= x
x > 0 => k > 1 => k^n > 1
Et positivt tall ganger noe som er større enn 1 er større enn det samme positive tallet.
Så er det bare å prøve for n=2
EDIT: Tror jeg har gjort den oppgaven før
Har du Sinus?