matematikk.net

Hei hei, kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

Vis at hvis [tex]x>-1[/tex], så er [tex](1+x)^n \geq nx[/tex] for alle hele tall [tex]n\geq 2[/tex].

Det var ingen oppgaver i boken som var tilsvarende, så hadde litt problemer med å "se" denne oppgaven.

Andreas

Den var interessant.

Jeg ville ha startet med å sette inn for n = n+1 med en gang

VS = (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) = (1+x)^n + x(1+x)^n
HS = (n+1)x = nx + x

Siden vi kan gå ut i fra at (1+x)^n >= nx, trenger vi bare å bevise at

x(1+x)^n >= x når x > -1

Når -1 < x < 0:

Man kan gjøre dette til et uttrykk
xk^n >= x, der 0 < k < 1 => 0 < k^n < 1
Siden x er her negativt stemmer xk^n > x

x = 0:

Bare å sette inn.

x > 0:

x(1+x)^n >= x

Setter igjen 1+x som k.
xk^n >= x
x > 0 => k > 1 => k^n > 1

Et positivt tall ganger noe som er større enn 1 er større enn det samme positive tallet.

Så er det bare å prøve for n=2


EDIT: Tror jeg har gjort den oppgaven før Har du Sinus?

Jepp, oppgaven er 6.294.