matematikk.net

Jeg trenger litt hjelp med en oppgave fra 2mx eksamen som lyder slik:

Vi tenker oss at posisjonen til to båter A og B er gitt ved parameterframstillingene

[tex]A:\left\{x=\frac{1}{10}t^2\\y=t[/tex]

[tex]B:\left\{x=3t\\y=\frac{2}{3}t+10[/tex]

Parameteren t er tiden målt i sekunder. Koordinatene x og y er målt i meter.

a) Tegn kurven som hver av båtene følger i et koordinatsystem. La [tex]t\in[0,\;40][/tex]

b) Bestem avstanden mellom båtene ved t=0.

c) Bestem koordinatene til punktene der kurvene krysser hverandre.

d) Undersøk om båtene kolliderer.

Det er de to siste jeg lurer på. Jeg byttet om den ene parameteren til s og fikk to ligninger med to ukjente. Men uansett hvordan jeg prøvde å regne det ut så fikk jeg en andregradsligning med kun imaginære løsninger. Men hvilke andre måter kan man løse den på? Jeg klarte tilslutt å finne fram til et punkt ihvertfall, men jeg er ganske sikker på at det er feil uansett.
Hvis noen kan hjelpe hadde det vært fint.

Kanskje mulig å bytte ut t med x og få en f(x) for A og B og sette de mot hverandre...?

Hmm, jeg tror ikke jeg skjønner helt. Hvordan mener du?

A

[tex]x = \frac{2}{3}t^2[/tex]
[tex]y = t[/tex]

[tex]x = \frac{2}{3}y^2 \Rightarrow y = \sqrt{\frac{3}{2}x}[/tex]

Foreleseren min gjorde noe sånn for å eliminere t fra likningene... Gjør dette med begge to og sette lik hverandre så får du krysningspunkter... Burde være mulig og virker logisk...

Der kurvene krysser hverandre vil [tex]x_A = x_B[/tex] og [tex]y_A = y_B[/tex]. Hvis båtene kræsjer, betyr det at begge er i det samme kryssningspunktet til samme tid. Det vil si at parameterverdiene [tex]s[/tex] og [tex]t[/tex] er like når [tex]x_A = x_B[/tex] og [tex]y_A = y_B[/tex].

meCarnival:
Takk skal du ha, jeg tror jeg skjønner hva du mener. Jeg gjorde det og satte de lik men får fremdeles kun imaginære løsninger.

Emomilol:
Det var det jeg gjorde. Kalte den ene s og den andre t og satte de like men fikk ingen skikkelige løsninger.

Vel, kurvene skjærer hverandre. Har du sjekket fortegns- og slurvefeil?

Ja, jeg har sett over flere ganger og regnet det ut på minst 4 forskjellige måter både med regning og Quickmath. Men jeg så og at grafene krysset hverandre så de må jo ha skjærinspunkt, bare så merkelig at det skulle være så vanskelig å finne dem. Det jeg gjorde på eksamen tilslutt var bare å sette x-verdiene like begge med t siden den ene var t^2 og den andre kun t. Da fikk jeg fram et punkt også brukte jeg det til å svare at de kom til å kollidere siden parameteren var lik i begge. Men jeg kan ikke tenke meg at det er riktig og vi har ihvertfall ikke lært noe sånt.

Sett x_s=x_t og y_s=y_t

De skjærer hverandre. Løs likningssettet mhp. en av parameterene, og sett inn i parameterframstillingen. Da har du skjæringspunktet.

Sett parameterverdien inn i den andre parameterframstillingen. Her er parameteren tiden i sekund, og når du setter denne inn i parameterframstillingen, vil du få båtens koordinater på tidspunktet, og hvis begge båtene er i skjæringspunktet til samme tid ... BANG!

Edit: Båtene kræsjer, hadde denne på 2MX-eksamen selv.

Slik jeg løste den:

A:[(1/10)t^2, t], B:[3s, (2/3)s+10]

[tex]\frac{1}{10}t^2=3s,\; \wedge\; t=\frac{2}{3}s+10\\ \frac{1}{10}\left(\frac{2}{3}s+10\right)^2=3s[/tex]
Gjrø litt mellomregninger, som jeg ikke orker å skrive i TEX-nå, og ender opp med:

4s^2-150s+900=0

s=30 V s= 15/2

Setter inn for s i B:

x_1(3*30, 2/3 * 30 +10)=(90,30) V x_2=(3*15/2, 2/3 * 15/2 + 10)=(22.5 ,15)

Setter inn denne verdien i den andre parameterfremstillingen og ser at begge båtene er i skjæringspunktet ved samme tidspunkt.

Takk for svar. Håper du hadde rett då for då får jeg kanskje litt poeng for at jeg skrev de kræsjet i det minste

Jeg prøvde å løse den slik:

[tex]x=\frac{1}{10}t^2\;\wedge\;x=3s[/tex]

[tex]y=t\;\wedge\;y=\frac{2}{3}s+10[/tex]

[tex]\frac{1}{10}t^2=3s\;\rightarrow\;s=\frac{1}{30}t^2[/tex] <-- her tror jeg jeg gjorde feil og ganget istedenfor å dele med 3


[tex]t=\frac{2}{90}t^2+10[/tex]

[tex]2t^2-90t+900=0[/tex]

Tror det skal bli riktig så ser ut som jeg dreit meg skikkelig ut der ja. Håper jeg ikke blir altfor hardt straffet for det. Men jeg blir nok det.

thmo skrev:Vi tenker oss at posisjonen til to båter A og B er gitt ved parameterframstillingene

[tex]A:\left\{x=\frac{1}{10}t^2\\y=t[/tex]

[tex]B:\left\{x=3t\\y=\frac{2}{3}t+10[/tex]

Parameteren t er tiden målt i sekunder. Koordinatene x og y er målt i meter.

c) Bestem koordinatene til punktene der kurvene krysser hverandre.

d) Undersøk om båtene kolliderer.

Nå har jeg ikke satt meg skikkelig inn i parameterfremstillinger, men blir det ikke slik?

Kurvene krysser hverandre der både x- og y-verdiene til de to funksjonene er like. Altså får vi ligningssettet:

[tex]I: \ \ \ \frac{1}{10}t^2 = 3s[/tex]
[tex]II: \ \ t = \frac{2}{3}s+10[/tex]

Setter inn i ligning I og får:
[tex]\frac{1}{10}\left(\frac{2}{3}s+10\right)^2 = 3s \\ \frac{1}{10}\left(\frac{4}{9}s^2 + \frac{40}{3}s + 100\right) = 3s \\ \frac{2}{45}s^2 + \frac{4}{3}s + 10 = 3s \\ 2s^2 + 60s + 450 = 135s \\ 2s^2 - 75s + 450 = 0 \\ \ \\ s = 30 \ \ \vee \ \ s = 7,5[/tex]

Setter inn i funksjonen for B og ser at de krysser hverandre i punktene (90, 30) og (22.5, 15).

Hvis ser hvor lang tid A har brukt når A er i disse punktene:
[tex]\frac{1}{10}t^2 = 90 \\ t^2 = 900 \\ t = 30[/tex]
Aiaiai, altså er både A og B i punktet (90, 30) etter 30 sekunder. Så sjekker vi det andre krysningspunktet:
[tex]\frac{1}{10}t^2 = 22,5 \\ t^2 = 225 \\ t = 15[/tex]
Altså er A i det andre krysningspunktet etter 15 sekunder, mens B er der allerede etter 7,5 sekunder.

Konklusjonen er hvertfall at de kolliderer etter 30 sekunder i punktet (90, 30).

Blir ikke det riktig da?

Jo, det blir nok slik. Det var bare jeg som gjorde en dum regnefeil allikevel. Kjipt, men men. Tror kanskje jeg fikk det ene punktet (90, 30) så redder meg kanskje litt på det og at jeg skrev at de kræsjet. Selv om utregningene og begrunnelsen var helt på trynet.
Takk til alle som hjalp til å finne ut av dette ihvertfall. No slipper jeg å gå å håpe på 6 bare for å bli skuffet når jeg ikke får det.

Fikk ikke til den oppgaven, men ellers synes jeg det gikk greit. Vet du når sensuren faller og man får opp karakteren på Privatistweb?
Vet at resultatene blir sendt ut i uke 26, men de kommer kanskje på nett tidligere?

Tror kanskje de snakket om rundt tiende eller noe, men kan hende det bare er jeg som innbiller meg det. Vil ihvertfall tro vi får de før uke 26, det er jo en måned til.