Er det noen (enkel, om mulig) måte å vise at tallet [tex]sqrt(-1)^sqrt(-1)=i^i[/tex] er et reelt tall, uten å vise det direkte ved hjelp av at [tex]e^(i*pi)=-1[/tex] [fikk ikke helt taket på TEX der] eller med rekkeutviklinger for andre konstanter enn i. Finnes det for eksempel noen rekkeutvikling for [tex]sqrt(-1)=i[/tex] der man spesielt kan fastslå at [tex]i^i[/tex] ikke har noen imaginærdel? Når man kjenner Eulers formel, er det ikke vanskelig å få den intuitive forståelse av at tallet er reelt, men for den som ennå ikke har "akseptert" Eulers formel ved fullt og helt å forstå det (intuitivt, som Gauss for øvrig er kjent for å ha stilt som en forutsetning for en matematiker av førsteklasse).
Jeg oppfatter at det i matematikk er mange måter å bevise sammenhenger på, og det ville for meg fremstå som noe spesielt om man ikke hadde andre bevis enn Eulers formel for at nettopp [tex]i^i[/tex] er en reell størrelse.
Bevise at i^i er reelt uten ved hjelp av Eulers formel
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hvis du ønsker å opphøye noe i et komplekst tall, så må du først gå ut ifra en definisjon av hva det vil si å gjøre nettopp dette. En slik definisjon at e^z := rekkeutviklingen av e^z (det finnes andre definisjoner, se wikipedia). Denne definisjonen er det lett å vise at fører til Eulers formel. Så hvis du bruker denne definisjonen, så kommer du ikke utenom Eulers formel på noen meningsfull måte.