de moivres formel, med en vri!
Lagt inn: 25/08-2009 18:41
Poster her siden formelen inngår i matematikk X-faget.
de Moivres formel er som kjent:
[tex](\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^n = \cos (n\theta) + i \cdot \sin (n\theta)[/tex]
I dag kommer jeg over en utledning i trigonometri, hvor jeg så at det hadde vært nyttig for meg om det var sånn at:
[tex](\cos \theta - i \cdot \sin \theta)^n = \cos (n\theta) - i \cdot \sin (n\theta)[/tex]
Jeg resonnerte slik:
det stemmer at
[tex](\cos (-x) + i \cdot \sin (-x)^n = \cos (-nx) + i \cdot \sin (-nx)[/tex]
siden moivres formel gjelder for alle argumenter [tex]\theta[/tex]
hvis man nå setter inn de velkjente sannhetene:
[tex]\sin (-x) = -\sin x \\ \cos (-x) = \cos x [/tex]
inn i ligningen får vi:
[tex](\cos x - i \cdot \sin x)^n = \cos (nx) - i \cdot \sin (nx)[/tex]
Som var det jeg ønsket. Kan noen se over og si om dette ser riktig ut, og evt gi en dytt i riktig retning om noe er galt?
de Moivres formel er som kjent:
[tex](\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^n = \cos (n\theta) + i \cdot \sin (n\theta)[/tex]
I dag kommer jeg over en utledning i trigonometri, hvor jeg så at det hadde vært nyttig for meg om det var sånn at:
[tex](\cos \theta - i \cdot \sin \theta)^n = \cos (n\theta) - i \cdot \sin (n\theta)[/tex]
Jeg resonnerte slik:
det stemmer at
[tex](\cos (-x) + i \cdot \sin (-x)^n = \cos (-nx) + i \cdot \sin (-nx)[/tex]
siden moivres formel gjelder for alle argumenter [tex]\theta[/tex]
hvis man nå setter inn de velkjente sannhetene:
[tex]\sin (-x) = -\sin x \\ \cos (-x) = \cos x [/tex]
inn i ligningen får vi:
[tex](\cos x - i \cdot \sin x)^n = \cos (nx) - i \cdot \sin (nx)[/tex]
Som var det jeg ønsket. Kan noen se over og si om dette ser riktig ut, og evt gi en dytt i riktig retning om noe er galt?