tolking av graf (1. og 2. deriverte)

[Gjest]

når du får en oppgave som du kan fremstille grafisk.
Hva finner du med 1. deriverte og hva finner du med den 2. deriverte?

Hva finner du ut når du setter 1. deriverte lik 0?
hva finner du ut når du setter 2. deriverte lik 0?
Hvordan finner du vendepunktet til grafen?

På forhånd takk. Er kommet opp i 3mx eksamen, så vil gjerne kunne dette. Vet det er elementært, men husker det rett og slett ikke.

[mathvrak]

Les definisjon på derivert her:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... php?t=2346

1. derivert:
Kort sakt kan en si at man sitter igjen med stigningstallet etter derivasjon i et punkt. Du kan godt si at man finner endringen i høyde hvis en beveger seg uendelig kort med x retningen. Hvis du deriverer en funksjon for alle x, får du alle stigningstall for alle x.

Så hva betyr det at du har et stigningstall som er 0 ? da stiger ikke grafen, men går rett frem: feks, grafen til y(x) = 5 går rett, og deriverte av denne er null. Hvis du ser for deg en graf som har top og bunn punkt, vil ikke da topp og bunnpunkt ha stigningstall lik null? dette er hensikten med å sette 1. deriverte = 0 for å finne top og bunnpunkt.


2: derivert
Hvis du deriverer en gang til, andre derivert, får du endring i endringen. Hvis endringen er konstant, vil derivert av denne igjen være null. Vi finner vende punkter der 2.deriverte er null. Plot gjerne grafen sammen med første og andre deriverte og observer hva som skjer..

[Gjest]

hadde netopp en prøve der vi skulle finne hvor grafen steg mest. Er ikke dette i vendepunktet? Løsningen ble funnet ved å finne den derivertes topp-punkt.

får du samme løsning dersom du setter f''(x)=0 og når du finner topp-punktet til f'(x) ?

[Gjest]

hadde netopp en prøve der vi skulle finne hvor grafen steg mest. Er ikke dette i vendepunktet? Løsningen ble funnet ved å finne den derivertes topp-punkt.

får du samme løsning dersom du setter f''(x)=0 og når du finner topp-punktet til f'(x) ?

Jo. Hvis du får flere punkter må du sette disse punktene inn i første derivert f'(vendepunkt1) f'(vendepunkt1). Det vendepunkt som har størst stigningstall (1.derivert) stiger brattest.

Kan ta et eksempel. La oss ta en funksjon f(x) langs x-aksen. Tenk deg et område på x-ksen hvor andre derivert er positiv. Det er området hvor endringen øker. Dvs første derivert øker. etterhvert som vi beveger oss langs x-aksen vil første derivert øke og øke. Hvis nå grafen tar en vending vil endringen slutte å øke, dvs endring i endring (2.derivert) er null, her har du maks endring. Det kan være flere vendepunkter i en funksjon. Derfor må du sjekke alle vendepunktene.

Eksempel med sinus funksjon:

Kode: Velg alt

f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sin(x)


graf:

y
|
|  _-_
| / | \-----f(x)
|/  |  \
|---|---\-------/--- x
|   |   |\     /|
|   |     \   /
|   |   |  -_-  |
    |       |
y   |   |   |   |
|   |       | 
-_  |   |   |   |
| \ |       | /------f'(x)
|  \|   |   |/  |
|---\-------/--- x
|    \  |  /    |
|     \   /
|      -|-      |
        |
(noter: første derivert null hvor f(x) er på topp og bunn)
        |       |
y
|       |       |
|          _-_
|       | /   \ |
|       |/     \
\-------/-------\--- x
|\     /     
| \   /---f''(x)
|  -_-

Ser ut til å stemme at f''(x)=0 hvor
sin(x) stiger brattest.

[mathvrak]

der jeg skrev f'(vendepunkt1) f'(vendepunkt1) skulle det stå

f'(vendepunkt1) og f'(vendepunkt2)

[mathvrak]

får du samme løsning dersom du setter f''(x)=0 og når du finner topp-punktet til f'(x) ?

første derivert = 0 og andre derivert = 0 kan ligge i samme punkt. Da har du funnet et terassepunkte. Da er ikke dette et topp/bunn punkt. Derfor er regelen slik at en skal alltid sjekke punktene.

[Gjest]

kjempe bra svar! så får å finne vendepunktet setter du f''(X)=0 ? Men du kan også finne det samme punktet ved å finne topppunktet til f'(x) ?

Jeg hadde nemlig en heldagsprøve netopp. Oppgaven fikk en graf som var slik:
___
/ `\
/ \
/ \
---/ \----

(ja jeg vet, dårlig tegnet)

men da jeg satte f''(x)=0 fikk jeg topp punktet på grafen F(x). Dette er jo helt på jordet! Hvorfor fikk jeg ikke riktig svar da`? deriveringen min var riktig!

[mathvrak]

Topp og bunnpunkt til g(x)=f'(x) får du vet å regne g'(x)=f''(x)=0. Ja, topp/bunn punktet til f'(x) er derfor det samme som vendepunkt til f(x).

Tenk deg en bil som akselerer (positiv endring (1.derivert) av hastighet). Ved en stor fart begynner bilen å bremse (negativ økning i fart). Så toppfarten hadde vi når akselerasjonen (endringen) gikk fra positiv til negativ. Derfor kan vi si at der deriverte er null har vi topp (bunn) punkt.
- Tenk deg at bilen bremser hardere og hardere (negativ akselerasjon øker og øker) for så holde bremsen konstant på ett trykk, deretter slakke på bremsen. Der hvor bremsen var lengst inne har vi akselerasjonens bunnpunkt (andre derivert = 0). Det er det samme som å si at endring i endring var minst, og bilen bremset hardest her (vendepunkt). Tenk litt på det. Hender jeg tenker sånn i bussen. hehe.

bruk "notisblokk" og taggene [ code] og [ /code] for å tegne.
[ /code ]

For å tegne i ascii..