matematikk.net

Hei, har prøvd å faktorisere dette uttrykket en stund, men får akkurat ikke til den siste biten. Noen som kan skrive opp hele løsningen?

[tex]-2y^2 + 4y + 16[/tex]

Jeg klarer fint å løse denne ved hjelp av "produkt-sum"-metoden, men jeg er ute etter den "vanlige" løsningen. Med "vanlige" mener jeg slik det er gjort i den andre tråden om faktorisering rett nedenfor denne tråden, men klarer ikke se sammenhengen mellom dem, i tilfelle noen tror jeg ikke har prøvd ved å se likheter fra den oppgaven. Håper noen kan være behjelpelige.

EDIT: I tillegg lurer jeg på om noen kan hjelpe med b^2 - 6b + 10? Kommer ikke frem til noe svar, uansett hvilken måte jeg anvender meg av, og kalkulatoren gir meg bare noe kompleks svar-greier.

Bruker her "min" metode, kunne noen si hvilken metode dette er ?

[tex]-2y^2 + 4y + 16[/tex]

Deler med hele ligningen med [tex]-2[/tex] for å få den på formen [tex]ax^2+bx+c[/tex]

[tex]y^2 - 2y - 8[/tex]

Bruker at

[tex]ax^2+bx+c\,=\,(x+m)(x+n)[/tex]

Der [tex]m \cdot n = c[/tex] og [tex]m+n = b [/tex]

(Gjelder bare hvis [tex]a[/tex] er positiv og lik [tex]1[/tex], og dersom [tex]m[/tex] og [tex]n[/tex] er reelle heltall)

[tex]y^2 - 2y - 8[/tex]

[tex]-8 = c[/tex] og[tex] -2 = b [/tex]

Dette betyr at [tex]n \cdot m[/tex] skal være lik [tex]-8[/tex], nå skriver vi opp alle mulighetene. Men dette kan åpenbart bli gjort raskt i hodet.

[tex]-8 \cdot 1 \, = \, -8[/tex]
[tex]-1 \cdot 8 \, = \, -8[/tex]
[tex]-4 \cdot 2 \, = \, -8[/tex]
[tex]-2 \cdot 4 \, = \, -8[/tex]

videre vet vi at [tex]n+m=-2[/tex]. Sjekker så alle mulighetene over og ser hvilken av de som gir [tex]-2[/tex]. Det er umulig at det er flere som gir samme svar. Dersom ingen gir[tex] -2[/tex]. Vet vi at polynomet ikke kan faktoriseres til heltall...

[tex]-8 + 1 \, = \, -7 [/tex]
[tex]-1 + 8 \, = \, 7[/tex]
[tex]-4 + 2 \, = \, -2[/tex]
[tex]-2 + 4 \, = \, 2 [/tex]

[tex]n=-4[/tex] og [tex]m = 2[/tex]

[tex]y^2 - 2y - 8 = (x-4)(x+2)[/tex]

----------------------------------------------------

Normal måte

[tex]-2y^2 + 4y + 16[/tex]

Skriver også her om deler med [tex]-2 [/tex]

[tex]y^2 - 2y - 8[/tex]

legger til halvparten av [tex]c^2 [/tex]

[tex]y^2 - 2y + (\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 - 8[/tex]

[tex]y^2 - 2y + (1)^2 - (1)^2 - 8[/tex]

skriver om ene siden til et perfekt kvadrat

[tex](y-1)^2 - 1 - 8[/tex]

[tex](y-1)^2 - 9[/tex]

[tex](y-1)^2 - 3^2[/tex]

Bruker her konjugatsetningen (tredje kvadratsetning)
Den sier at [tex]a^2-b^2=(a-b)(b+a)[/tex]

[tex]((y-1)-3)((y-1)+3)[/tex]

[tex](y-4)(y+2)[/tex]

Voilà

--------------------------------------------------

Siste oppgaven kommer må bare redigere posten min.

Hehe, det var akkurat denne metoden jeg dro nytte av i denne sammenhengen. Klarte den etter ørten forsøk ved hjelp av nullpunktfaktorisering også, men mener det ikke er noen av disse metodene som vil egentlig har lært på skolen. Har ikke boka foran meg så få heller ikke sjekket.

Takker for øvrig for hjelpen, og lurte på om du kunne tatt en titt på det lille avsnittet som er editet inn i mitt første innlegg?

Stemmer at den ikke kan faktoriseres til reelle faktorer:

[tex]b^2 - 6b + 10 = b^2 - 6b + 9 + 1 = (b - 3)^2 + 1[/tex]. Herfra kan vi ikke bruke konjugatsetninga til å faktorisere videre.

Siste oppgave kommer som sagt. Måtte bare vise begge måter å løse oppgaven på.

Her er det smart å bruke andregradsformelen.

[tex]\frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]

[tex]b^2 - 6b + 10[/tex]

Her kommer vi ingen vei med smarte metoder, siden n og m ikke vil være to hele tall. Sjekket i hodet og fant ingen tall. Mest sannsynlig er løsningene komplekse, men vi sjekker med formelen. Kunne faktorisert men når jeg ikke fant noen tall i hodet, tror jeg ikke dette vil føre fram. Orker ikke å skrive ned mulighetene. Her vil n og m bli to komplekse tall siden funksjonen aldri krysser x aksen.

[tex]ax^2 + bx + c[/tex]

Her er a=1 b=-6 og c=10

setter inn i formelen

[tex]\frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]

[tex]\frac{{ - (-6) \pm \sqrt {{(-6^2)} - ( 4(1)(10) )} }}{{2*1}}[/tex]

[tex]\frac{{ 6 \pm \sqrt {{36} - 40 } }}{{2}}[/tex]

[tex]\frac{{ 6 \pm \sqrt {-4 } }}{{2}}[/tex]

[tex]\frac{{ 6 \pm \sqrt {-2^2 } }}{{2}}[/tex]

[tex]i = sqrt{-1}[/tex]

[tex]\frac{{ 6 \pm 2i }}{{2}}[/tex]

[tex] 3 \pm i [/tex]

Løsningen blir derfor

[tex] x = 3 + i \; V \; x = 3 - i [/tex]

[tex]b^2 - 6b + 10=(x+m)(x-m)[/tex]

[tex]b^2 - 6b + 10=(x-3-i)(x-3+i)[/tex]

Takker meget! Skjønte ikke helt fra der hvor "i" startet, men gjør muligens ikke så mye, da vi enda ikke har vært inne på det. Ellers lett og oversiktelig, takk skal du ha.

Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall og må derfor sette en bak[tex]i[/tex] siden [tex]x \cdot x = x^2[/tex] og [tex](-x)(-x)=x^2[/tex]
[tex](5)^2=25[/tex] og [tex](-5)^2=25[/tex]

For eksempel

[tex]\sqrt{25}=\pm 5[/tex] mens [tex]\sqrt{-25}=\pm 5i[/tex]

Definisjonen av[tex] i[/tex] er [tex]sqrt{-1}[/tex] det betyr at[tex] i^2 = -1[/tex]

Det betyr om vi går andre veien at

[tex]5i = 5^2 \cdot i^2=5^2 \cdot sqrt{-1}^2=(25)(-1)=-25[/tex]

Flesteparten vil si at disse stykkene ikke har en løsning, men de har en løsning den er bare ikke reel men kompleks.

Dette er definisjonen, men alt du trenger å huske er å slenge en [tex]i[/tex] bak tallet

Klarer du og løse denne, nå som du har fått drahjelp. Se om du kan faktorisere den første på 3 måter, og faktorisere den andre.

Første [tex]-2x^2+10x+28[/tex]

Andre [tex]2b^2-20b+52[/tex]

Nå har jeg endelig tatt til motet og forsøkt å løse disse oppgavene. Jeg har benyttet meg av dine utregninger som mal. Er for øvrig helt tarvelig når det kommer til LaTex så etter å først ha løst alle disse stykkene på papir kopierte jeg formlene dine.

Ser dette riktig ut?

[tex]-2x^2 + 10x + 28[/tex]

1. ABC-formelen:

[tex]x=\frac{-10\pm\sqrt{(-10)^2-4*(-2)*(-28)}}{2*(-2)}[/tex]

[tex]x=\frac{-10\pm\sqrt{(100+124)}}{(-4)}[/tex]

[tex]x=\frac{-10\pm\sqrt{(324)}}{(-4)}[/tex]

[tex]x=\frac{-10\pm\{18}{(-4)}[/tex]

[tex]x=\frac{-10+18}{-4}[/tex] eller [tex]x=\frac{-10-18}{-4}[/tex]

[tex]x=-2[/tex] eller [tex]x=7[/tex]

[tex](x+2)(x-7)[/tex]

2. [tex]-2x^2 + 10x + 28[/tex]

Deler alt på -2

[tex]x^2 - 5x - 14[/tex]

Legger til og trekker fra [tex](b/2)^2[/tex]

[tex]x^2 - 5x + (5/2)^2 - (5/2)^2 - 14[/tex]

[tex](x-5/2)^2 - 25/4 - 56/4[/tex]

[tex](x-5/2)^2 - 81/4[/tex]

[tex](x-5/2) - (9/2)^2[/tex]

[tex](x-5/2-9/2)(x-5/2+9/2)[/tex]

[tex](x-14/2)(x+4/2)[/tex]

[tex](x-7)(x+2)[/tex]

3. [tex]-2x^2 + 10x + 28[/tex]

Deler på -2 også her og får [tex]x^2 - 5x - 14[/tex]

[tex](x+m)(x+n)[/tex]

[tex]mn = c[/tex] og [tex]m+n = b[/tex]

[tex]c = -14[/tex] og [tex]b = -5[/tex]

Finner to tall hvis produkt er [tex]-14[/tex] og sum er [tex]-5[/tex].

Det er kun [tex]-7 * 2[/tex], [tex]-2 * 7[/tex], [tex]-1 * 14[/tex] og [tex]-14 * 1[/tex] som blir -14. Av disse har [tex]-7[/tex] og [tex]2[/tex] summen [tex]-5[/tex].

Dette medfører:

[tex](x-7)(x+2)[/tex]

-

[tex]2b^2 - 20b + 52[/tex]

Deler alt på 2

[tex]b^2 - 10b + 26[/tex]

ABC-formelen:

[tex]b=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4*1*26}}{2*1}[/tex]

[tex]b=\frac{10\pm\sqrt{(100-104)}}{(2)}[/tex]

[tex]b=\frac{10\pm\sqrt{(-4)}}{(2)}[/tex]

[tex]b=\frac{10\pm\sqrt{(-2^2)}}{(2)}[/tex]

[tex]b= \frac{10\pm2i}{2}[/tex]

[tex]b={5\pm i}[/tex]

[tex](b-5+i)(b-5-1)[/tex]

Meget bra. Ser riktig ut dette liten slurv på slutten skal være (x-5-i) og ikke (x-5-1) men dette er sikkert bare slurv.

hvilken måte syntes du er lettest og bruke for å faktorisere slike uttrykk ?

Og for å skrive brøk i latex bruker man God guide for latex på norsk, er dårlig på latex jeg og så jeg skriver ting i mathtype og kopierer inn til forumet.

http://www.diskusjon.no/index.php?showtopic=1080165

Jepp, selvsagt, en liten slurv der, ja. Takk for irettesettelsen.

Jeg synes ABC-formelen by far er den enkleste å benytte seg av, da man kun trenger å ha tallene og legge dem inn i en formel. De andre to måtene er litt mer vriene å ha med å gjøre, men likevel er de smarte å ha. Takk for hjelpen og takker også for link med hjelp til LaTex.

EDIT: Et lite spørsmål på tampen, her, hvorfor skal det være (b-5-i)(b-5+1); altså hvorfor -5 og ikke 5, når det står (x+m)(x-m) når man ender opp med 5 [symbol:plussminus] i?

Skal selvfølgelig stå

[tex](x+m)(x+n)[/tex] og ikke [tex](x+m)(x-m)...[/tex]

Tallene var [tex]5 + i[/tex] og [tex]5 - i[/tex]

[tex](x-5+i)(x-5-i)=0[/tex]

Målet er at venstre side skal være lik høyre side.
eneste måten å få venstre side til å være [tex]0[/tex] på er at en av parantesene
må være lik [tex]0[/tex]. altså [tex]0 \cdot 5 = 0[/tex] osv.
Dette kan vi skrive slik.

[tex](x-5+i)=0 \;V[/tex] (Dette er mattesymbolet for eller) [tex](x-5-i)=0 [/tex]

[tex]x-5+i=0 \;V\; x-5-i=0 [/tex]

[tex]x=5-i \;V\; x=5+i[/tex]

Håper dette forklarte det...

Liker best andre metoden som du brukte, siden jeg kan løse stykkene i hodet med den.

[tex]x^2 - 7x + 6[/tex]

Tenker slik. [tex]2 \cdot 3[/tex] gir ikke [tex]-7[/tex] lagt sammen. [tex](-2) \cdot (-3)[/tex] gir ikke [tex]-7[/tex] lagt sammen.
[tex](-5) \cdot (-1)[/tex] gir [tex]-7[/tex] lagt sammen.

Løsningene er derfor 5 og 1 (snur fortegnene)

[tex]x^2 - 7x + 6 = 0[/tex]

[tex]x^2 - 7x + 6 = (x+m)(x+n)[/tex]

[tex](x+m)(x+n) = 0[/tex]

[tex](x+(-5))(x+(-1)) = 0[/tex]

[tex](x-5)(x-1) = 0 [/tex]

[tex](x-5) = 0 \; V \; (x-1) = 0[/tex]

[tex](x = 5 \; V \; x = 1[/tex]

Ellers kan du bare tenke at du snur fortegnene.

[tex]x^2 -6x + 8 = 0[/tex]