Oppgave:
Billettprisen for ei reise med ein buss er 29 kroner for vaksne og 15 kroner for barn. I ein kontroll oppdagar busselskapet at bussjåføren har fått 1182 kroner i billettinntekter. Avgjer om dette kan stemme.
Hvordan går en frem for å løse slike oppgaver? Jeg kommer litt på vei:
Jeg ser at det er to ukjente: x = antall voksne, y = antall barn
Jeg får følgende ligning: 29x + 15y = 1182, men kommer ikke videre. Hvordan sikrer jeg forresten at x og y blir hele tall?
Ligning: Historieproblem
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
knut1
prøve feile fordi den andre likningen mangler
x og y er heltall (0..->) (kun hele personer)
løsningen(e) er de tilfelle der (1182-15y) er multiplum av 29 (fins i 29-gangen)
med excel laget jeg tabellen under. der ser du løsningene
x,y= 2,73 / 18,44 og 33/15
oppgaven har tre løsninger som alle gir 1182 i billettinntekter
x y
0 1182 78,8
1 1153 76,86666667
2 1124 74,93333333
3 1095 73
4 1066 71,06666667
5 1037 69,13333333
6 1008 67,2
7 979 65,26666667
8 950 63,33333333
9 921 61,4
10 892 59,46666667
11 863 57,53333333
12 834 55,6
13 805 53,66666667
14 776 51,73333333
15 747 49,8
16 718 47,86666667
17 689 45,93333333
18 660 44
19 631 42,06666667
20 602 40,13333333
21 573 38,2
22 544 36,26666667
23 515 34,33333333
24 486 32,4
25 457 30,46666667
26 428 28,53333333
27 399 26,6
28 370 24,66666667
29 341 22,73333333
30 312 20,8
31 283 18,86666667
32 254 16,93333333
33 225 15
34 196 13,06666667
35 167 11,13333333
36 138 9,2
37 109 7,266666667
38 80 5,333333333
39 51 3,4
40 22 1,466666667
41 -7 -0,466666667
x og y er heltall (0..->) (kun hele personer)
løsningen(e) er de tilfelle der (1182-15y) er multiplum av 29 (fins i 29-gangen)
med excel laget jeg tabellen under. der ser du løsningene
x,y= 2,73 / 18,44 og 33/15
oppgaven har tre løsninger som alle gir 1182 i billettinntekter
x y
0 1182 78,8
1 1153 76,86666667
2 1124 74,93333333
3 1095 73
4 1066 71,06666667
5 1037 69,13333333
6 1008 67,2
7 979 65,26666667
8 950 63,33333333
9 921 61,4
10 892 59,46666667
11 863 57,53333333
12 834 55,6
13 805 53,66666667
14 776 51,73333333
15 747 49,8
16 718 47,86666667
17 689 45,93333333
18 660 44
19 631 42,06666667
20 602 40,13333333
21 573 38,2
22 544 36,26666667
23 515 34,33333333
24 486 32,4
25 457 30,46666667
26 428 28,53333333
27 399 26,6
28 370 24,66666667
29 341 22,73333333
30 312 20,8
31 283 18,86666667
32 254 16,93333333
33 225 15
34 196 13,06666667
35 167 11,13333333
36 138 9,2
37 109 7,266666667
38 80 5,333333333
39 51 3,4
40 22 1,466666667
41 -7 -0,466666667
-
Gjest
Takk for hjelpen, Knut1. Jeg synes "prøve og feile"-metoden er noe møkk, men må man så må man. I dette tilfellet så var jeg var sikker på at det var noe jeg overså.
-
Gjest
Denne likningen kan omformes til
y = 79 - 2x + (x-3)/15.
der 0 <x < 1182/29 = 40.76..
Så x - 3 er delelig med 15. Altså må x - 3 = 15t der t er et heltall >=0. Dette medfører at x = 3 + 15t, så x blir enten 3, 18 eller 33.
y = 79 - 2x + (x-3)/15.
der 0 <x < 1182/29 = 40.76..
Så x - 3 er delelig med 15. Altså må x - 3 = 15t der t er et heltall >=0. Dette medfører at x = 3 + 15t, så x blir enten 3, 18 eller 33.
-
Gjest
Det er ingen likning som manglar her, Knut1! To ukjente betyr jo på ingen måte at det skal vera to likningar. Og grunnen til at du nyttar prøve-feile- metoden er vel heller at du ikkje veit korleis du skal gå fram for å løysa den diofantiske likninga ax + by = c.
Fordelen med heiltal er at heiltal kan faktoriserast og at me difor kan finna x og y ved å vurdera divisorar og felles divisorar. ax + by = c har ein relativt enkel generell løysningsmetode som vert gjeve på universitetsnivå, og eg vil nytta den her (utan djuptliggande forklaring av metoden):
29x + 15y = 1182, x og y naturlege tal.
Merk at 29 og 15 har ingen felles faktorar større enn 1, og at 15*2 - 29 = 1. Me har altså 15*(1182*2) - 29*(1182) = 1182. La x = a, y = b og x = c, y = d vera to ulike løysningar. Då har me 29a + 15b = 29c + 15d, eller 29(a - c) = 15(d - b), så a = c + 15n og d = b + 29n, dvs. at ei generell heiltalsløysning er
x = -1182 + 15n, y = 1182*2 - 29n, n eit heiltal. Me skal finna alle naturlege løysningar (eigentleg er det nok å finna éi løysning med naturlege tal, viss me sjekkar oppgåveteksten). Då må y >= 0, dvs. at n =< 81, og vidare er x >= 0, så n >= 79. Av dette finn me tre løysningspar (x,y) : (3,73), (18,44) og (33,15).
Fordelen med heiltal er at heiltal kan faktoriserast og at me difor kan finna x og y ved å vurdera divisorar og felles divisorar. ax + by = c har ein relativt enkel generell løysningsmetode som vert gjeve på universitetsnivå, og eg vil nytta den her (utan djuptliggande forklaring av metoden):
29x + 15y = 1182, x og y naturlege tal.
Merk at 29 og 15 har ingen felles faktorar større enn 1, og at 15*2 - 29 = 1. Me har altså 15*(1182*2) - 29*(1182) = 1182. La x = a, y = b og x = c, y = d vera to ulike løysningar. Då har me 29a + 15b = 29c + 15d, eller 29(a - c) = 15(d - b), så a = c + 15n og d = b + 29n, dvs. at ei generell heiltalsløysning er
x = -1182 + 15n, y = 1182*2 - 29n, n eit heiltal. Me skal finna alle naturlege løysningar (eigentleg er det nok å finna éi løysning med naturlege tal, viss me sjekkar oppgåveteksten). Då må y >= 0, dvs. at n =< 81, og vidare er x >= 0, så n >= 79. Av dette finn me tre løysningspar (x,y) : (3,73), (18,44) og (33,15).