matematikk.net

Tenkte jeg kunne legge den ut hvis noen skulle ha bruk for det.

Oppgave 1

a) Deriver funksjonen [tex]f(x)=x^2\cdot sin x[/tex]

b) Forklar hva det betyr at en vinkel er målt i radianer. Hvilken sammenheng er det mellom radianer og grader.

c) Løs differensialligningen [tex]y^\prime+2y=3x[/tex] når y(0)=3

d) Vi har polynomfunksjonen [tex]f(x)=x^3-x^2-4x+4[/tex]

[tex]\text{ }[/tex]1) Vis at f(x) er delelig med (x-1) og faktoriser f(x).

[tex]\text{ }[/tex]2) Vis at [tex]\frac{x^2-2x+4}{x^3-x^2-4x+4}[/tex] kan skrives [tex]\frac1{x+2}-\frac1{x-1}+\frac1{x-2}[/tex]

[tex]\text{ }[/tex]3) Bestem integralet [tex]\int\frac{x^2-2x+4}{x^3-x^2-4x+4}dx[/tex]

e) I en rekke er [tex]a_1=x-1[/tex], [tex]a_2=2x[/tex] og [tex]a_3=4x+8[/tex]. Bestem x slik at rekken blir geometrisk.

f) Summen av de n første leddene i en generell geometrisk rekke er [tex]S_n=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}[/tex]
Bevis denne formelen ved induksjon.


Oppgave 2

Gitt punktene A(1,1,1), B(3,2,3) og C(2,7,5)

a) Finn [tex]\vec{AB}\cdot\vec{AC}[/tex]

b) Finn [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex]

Punktene A, B og C ligger i planet [tex]\alpha[/tex].

c) Finn ligningen til planet [tex]\alpha[/tex]. Undersøk om punktet D(2,2,3) ligger i planet [tex]\alpha[/tex].

d) Bestem en parameterfremstilling for en linje l som går gjennom punktet D, og som står vinkelrett på planet [tex]\alpha[/tex]. Finn skjæringspunktet S mellom l og [tex]\alpha[/tex].


Oppgave 3

Vi har en rettvinklet trekant med kateter a og b og hypotenus c. Høyden ned på hypotenusen kalles h.


http://bildr.no/view/538803

a) Forklar at [tex]a\cdot b=c\cdot h[/tex]

Bruk Pytagoras' setning og vis at [tex]\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac1{h^2}[/tex]

Vi vil nå studere tetraederet OABC. Hjørnet O er plassert i origo, A(a,0,0) på x-aksen, B(0,b,0) på y-aksen og C(0,0,c) på z-aksen.

b) Finn [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex] uttrykt ved a, b og c. Finn arealet av trekanten ABC.

En arealsetning som er oppkalt etter Pytagoras, sier at

[tex]F_{\triangle ABC}^2=F_{\triangle OAC}^2+F_{\triangle OBC}^2+F_{\triangle OAB}^2[/tex]

Her betyr [tex]F_{\triangle ABC}[/tex] arealet av trekanten ABC. Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.

c) Kontroller at arealsetningen er riktig.

d) Avstanden fra O til [tex]\triangle[/tex]ABC kalles h. Forklar at vi kan skrive

[tex]F_{\triangle ABC}=\frac{a\cdot b\cdot c}{2h}[/tex]

e) Bruk c) og d) til å vise at [tex]\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}=\frac1{h^2}[/tex]


Oppgave 4, alternativ 1

Vi vil studere en periodisk funksjon f gitt på formen

[tex]f(x)=a cos(cx-\phi)+d[/tex] npr [tex]x\in\langle0,12\rangle[/tex]

Her er a, c, d og [tex]\phi[/tex] konstanter.

Det oppgis at grafen til f har toppunkt i (1,6) og at det nærmeste bunnpunktet er (3,-1).

a) Forklar at grafen til f må ha toppunkt også i (5,6). Skriv koordinatene til ett toppunkt og to bunnpunkter til. Bestem funksjonsuttrykket til f.

b) Hvor avtar funksjonene raskest?

c) Finn nullpunktene til funksjonen ved regning.

d) Tegn grafen til f. Finn det samlede arealet av flatestykkene som er avgrenset av grafen til f og linjen y=5, og som ligger på oversiden av linjen.


alternativ 2

Vi har funksjonen [tex]f(x)=x^{\frac12}[/tex], [tex]D_f=[0,9][/tex]

a) Bestem volumet av det omderiningslegemet vi får dersom grafen til f dreies 360[tex]^o[/tex] om x-aksen.

En linje l er gitt ved ligningen y=k, der k er en konstant [tex]k\in[0,3][/tex]

b) Forklar at volumet av det omdreiningslegemet vi får når grafen til f dreies 360[tex]^o[/tex] om linjen l, er gitt ved

[tex]V(k)=\pi\int_0^9(x^{\frac12}-k)^2 dx[/tex]

c) Finn V(k).

d) Bestem hvilken verdi for k som gir det minste volumet.


Oppgave 5

En ball med masse m=2kg slippes fra en høyde h=30m. Vi antar at luftmotstanden er proporsjonal med farten v. Fra tidligere forsøk vet vi at den maksimale farten denne ballen kan oppnå når den faller, er 40 m/s. Vi lar tyngdeakselerasjonen være 10 m/s[sup]2[/sup].

Bruker vi opplysningene ovenfor sammen med Newtons 2. lov, får vi at farten v må tilfredstille differensialligningen

[tex]v^\prime+\frac14 v=10[/tex]

der v=v(t) er farten etter t sekunder.

a) Forklar at v(0)=0 og løs differensialligningen.

Etter t sekunder har ballen falt strekningen s gitt ved [tex]s^\prime(t)=v(t)[/tex]

b) Finn et uttrykk for s(t).

c) Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?

I stedet for å slippe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten [tex]v_0[/tex].

d) Hva må [tex]v_0[/tex] være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?

Oppgave 1

a) [tex]f^\prime(x)=2xsin x+x^2cos x[/tex]

b) At en vinkel er målt i radianer betyr at du bruker forholdet mellom buelengden som vinkelen lager og lengden fra vinkeltoppen til buelengden.
Sammenhengen mellom radianer og grader er at [tex]\frac{v}{2\pi}=\frac{n^o}{360^o}[/tex] der v er vinkelen i radianer og n[sup]o[/sup] vinkelen i grader

c) Ganger med integrerende faktor e[sup]2x[/sup]

[tex]y^\prime\cdot e^{2x}+2y\cdot e^{2x}=3x\cdot e^{2x}[/tex]

[tex]y\cdot e^{2x}=3\int x\cdot e^{2x}dx=3(\frac12x e^{2x}-\frac12\int e^{2x}dx)=\frac32x e^{2x}-\frac34e^{2x}+C[/tex]

[tex]y=Ce^{-2x}+\frac32x-\frac34[/tex]

y(0)=3 gir at [tex]C=\frac{15}4[/tex]

[tex]y=\frac34(5e^{-2x}+2x-1)[/tex]

d) 1. f(x) er delelig med (x-1) hvis x=1 er en løsning av f(x). [tex]f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0[/tex]. Altså er f(x) delelig med (x-1)

Faktoriserer f(x) ved polynomdivisjon. [tex]f(x)=(x+2)(x-1)(x-2)[/tex]

2. [tex]\frac{x^2-2x+4}{x^3-x^2-4x+4}=\frac{x^2-2x+4}{(x+2)(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}[/tex]

Fullfører delbrøkoppspaltningen og finner at A=1, B=-1 og C=1

3. [tex]\int\frac{x^2-2x+4}{x^3-x^2-4x+4}dx=\int\frac{1}{x+2}dx-\int\frac{1}{x-1}dx+\int\frac{1}{x-2}dx=ln|x+2|-ln|x-1|+ln|x-2|+C[/tex]

e) For at rekken skal være geometrisk så må [tex]\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}[/tex]

Det gir ligningen [tex]\frac{4x+8}{2x}=\frac{2x}{x-1}[/tex]

[tex](4x+8)(x-1)=4x^2[/tex]

[tex]4x^2+4x-8=4x^2[/tex]

[tex]4x=8[/tex]

[tex]x=2[/tex]

f) Skal bevise at [tex]a_1+a_1\cdot k+a_1\cdot k^2+a_1\cdot k^3+...+a_1\cdot k^{n-1}=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}[/tex]

1. Ser at det stemmer for n=1
2. Antar at det stemmer for n=p
3. Viser at det stemmer for n=p+1

[tex]a_1+a_1\cdot k+a_1\cdot k^2+a_1\cdot k^3+...+a_1\cdot k^{p-1}+a_1\cdot k^p=\frac{a_1(k^{p+1}-1)}{k-1}[/tex]

[tex]\frac{a_1(k^p-1)}{k-1}+a_1\cdot k^p=\frac{a_1(k^{p+1}-1)}{k-1}[/tex]

[tex]\frac{a_1(k^p-1)+a_1\cdot k^p(k-1)}{k-1}=\frac{a_1(k^{p+1}-1)}{k-1}[/tex]

[tex]\frac{a_1(k^{p+1}-1)}{k-1}=\frac{a_1(k^{p+1}-1)}{k-1}[/tex]

Altså stemmer det for alle n.


Oppgave 2

a) [tex]\vec{AB}\cdot\vec{AC}=[2,1,2]\cdot[1,6,4]=2+6+8=16[/tex]

b) [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}=[-8,-6,11][/tex]

c) [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex] er normalvektor for planet og A er et punkt i planet.

[tex]\alpha: -8(x-1)-6(y-1)+11(z-1)=0[/tex]

[tex]\alpha: -8x-6y+11z+3=0[/tex]

Setter inn koordinatene for D for å se om det ligger i planet: [tex]-8(2)-6(2)+11(3)+3=-16-12+33+3=8\not=0[/tex]

Punktet D ligger ikke i planet.

d) Siden linjen står vinkelrett på planet er den parallell med [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex]. Da er [tex]DS=t\cdot\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex]

[tex][x-2,y-2,z-3]=[-8t,-6t,11t][/tex]

[tex]x-2=-8t\;\;\vee\;\;y-2=-6t\;\;\vee\;\;z-3=11t[/tex]

[tex]l:\left\{\begin{array}{l}x=2-8t\\y=2-6t\\z=3+11t\\\end{array} \right[/tex]

Setter parameterfremstillingen inn i ligningen for [tex]\alpha[/tex] for å finne skjæringspunktet

[tex]-8(2-8t)-6(2-6t)+11(3+11t)+3=0[/tex]

[tex]t=-\frac8{221}[/tex]

Som gir at koordinatene for [tex]S=(2-8(-\frac8{221}),2-6(-\frac8{221}),3+11(-\frac8{221}))=(\frac{506}{221},\frac{490}{221},\frac{575}{221})[/tex]


Oppgave 3

a) Hvis vi tenker B som den motstående vinkelen til siden b så er

[tex]sinB=\frac{b}{c}\;\vee\;sinB=\frac{h}{a}[/tex]

Altså er [tex]\frac{b}{c}=\frac{h}{a}\;\to\;a\cdot b=c\cdot h[/tex]

Pytagoras gir at [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]

Siden [tex]c=\frac{ab}{h}[/tex] kan vi sette det inn i ligningen

[tex]a^2+b^2=\frac{a^2b^2}{h^2}[/tex]

Deler på a[sup]2[/sup]b[sup]2[/sup]: [tex]\;\frac1{b^2}+\frac1{a^2}=\frac1{h^2}[/tex]

b) [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}=[bc,ac,ab][/tex]

Arealet av ABC er [tex]\frac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\sqrt{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2}[/tex]

c) [tex]F_{\triangle ABC}=\frac12\sqrt{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2}[/tex]

[tex]F_{\triangle OAC}=\frac12\sqrt{(-ac)^2}=-\frac12ac[/tex]

[tex]F_{\triangle OBC}=\frac12\sqrt{(bc)^2}=\frac12bc[/tex]

[tex]F_{\triangle OAB}=\frac12\sqrt{(ab)^2}=\frac12ab[/tex]

Som gir [tex](\frac12\sqrt{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2})^2=(-\frac12ac)^2+(\frac12bc)^2+(\frac12ab)^2[/tex]

[tex]\frac14((bc)^2+(ac)^2+(ab)^2)=\frac14(ac)^2+\frac14(bc)^2+\frac14(ab)^2[/tex]

[tex](bc)^2+(ac)^2+(ab)^2=(ac)^2+(bc)^2+(ab)^2[/tex]

Den stemmer!

d) og e) klarte jeg ikke selv så jeg bare sakser løsningsforslaget til Janhaa.

Janhaa skrev:d) går jo an å tolke den opp som avstand fra pkt P=(a, 0, 0) til ABC som plan med normalvektor, n.
da er jo
[tex]\vec n=[bc, ac, ab]=\vec{AB}\times \vec{AC}[/tex]


[tex]h=\left|\frac{abc}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}\right|[/tex]

der
[tex]\text Areal(ABC)=0,5 \left|\vec{AB}\times \vec{AC}\right|=F[/tex]

dvs

[tex]h=\frac{abc}{2F}[/tex]

altså

[tex]F=\frac{abc}{2h}[/tex]

q.e.d.
------------------------------------
e)

[tex]F^2(ABC)=F^2(OAB)+F^2(OBC)+F^2(OAC)[/tex]

[tex]\frac{(abc)^2}{4h^2}=\frac{(ab)^2}{4}+\frac{(bc)^2}{4}+\frac{(ac)^2}{4}[/tex]

forkort med 4 og multipliser hele likninga over med
[tex]\frac{1}{(abc)^2}[/tex]

dette gir

[tex]\frac{1}{h^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}[/tex]

q.e.d.

Oppgave 4, alternativ 1

a) Siden den har ett bunnpunkt i (3,-1) så må perioden være 2(3-1)=4 og da blir det neste toppunktet i (1+4,6)=(5,6)

I dette intervallet så har den og toppunkt i (9,6) og bunnpunkter i (7,-1) og (11,-1)

Amplituden er [tex]\frac{6-(-1)}2=\frac72[/tex], perioden er 4 som gir [tex]c=\frac12\pi[/tex], [tex]d=\frac52[/tex], [tex]\phi=-\frac12\pi\cdot1=-\frac12\pi[/tex]

som gir [tex]f(x)=\frac72cos(\frac12\pi(x-1))+\frac52[/tex]

b) Vi må finne når den deriverte er lavest, altså må vi dobbelderivere og sette lik 0

[tex]f^{\prime\prime}(x)=-\frac{7\pi^2}8cos(\frac12\pi(x-1))[/tex]

[tex]cos(\frac12\pi(x-1))=0[/tex]

[tex]\frac12\pi(x-1)=\frac{\pi}2+2\pi n\;\vee\;\frac12\pi(x-1)=\frac{\pi}2+2\pi n[/tex]

[tex]x=4n+2\;\vee\;x=4n[/tex]

[tex]x=2\;\vee\;x=4\;\vee\;x=6\;\vee\;x=8\;\vee\;x=10[/tex]

Innsatt i den førstederiverte gir det at 2, 6 og 10 er bunnpunkter for den deriverte. Det er altså når funksjonen avtar raskest.

Punktene er [tex](2,\frac52)[/tex], [tex](6,\frac52)[/tex] og [tex](10,\frac52)[/tex]

c) [tex]cos(\frac12\pi(x-1))=-\frac57[/tex]

[tex]x=\frac52\;\vee\;x=\frac72\;\vee\;x=\frac{13}2\;\vee\;x=\frac{15}2\;\vee\;x=\frac{21}2\;\vee\;x=\frac{23}2[/tex]

d) Her er grafen med linjen y=5 og linjen x=12


http://bildr.no/view/540366

Vi skal finne arealet av de fargelagte områdene. Så vi må løse f(x)=5 for å finne kryssningspunktene.

Utregning gir løsningene [tex]x=\frac12\;\vee\;x=\frac32\;\vee\;x=\frac{9}2\;\vee\;x=\frac{11}2\;\vee\;x=\frac{17}2\;\vee\;x=\frac{19}2[/tex]

[tex]A=\int_{\frac12}^{\frac32}(\frac72cos(\frac12\pi(x-1))+\frac52-5)dx+\int_{\frac92}^{\frac{11}2}(\frac72cos(\frac12\pi(x-1))+\frac52-5)dx+\int_{\frac{17}2}^{\frac{19}2}(\frac72cos(\frac12\pi(x-1))+\frac52-5)dx[/tex]

[tex]A=[-\frac52x-\frac7{\pi}cos(\frac{\pi}2x)]_{\frac12}^{\frac32}+[-\frac52x-\frac7{\pi}cos(\frac{\pi}2x)]_{\frac92}^{\frac{11}2}+[-\frac52x-\frac7{\pi}cos(\frac{\pi}2x)]_{\frac{17}2}^{\frac{19}2}[/tex]

[tex]A\approx[(-2.174)-(-2.826)]+[(-12.174)-(-12.826)]+[(-22.174)-(-22.826)]=1.956[/tex]


alternativ 2

a) Volumet blir [tex]V=\pi\int_0^9(x^{\frac12})^2dx=\pi\int_0^9(x)dx=\pi[\frac{x^2}2]_0^9=\frac{81\pi}2[/tex]

b) Denne skjønte jeg ikke helt så jeg stjeler løsningen til bartleif

bartleif skrev:En liknende figur til den i oppgave a viser at [tex]A=\pi(f(x)-k)^2[/tex]

Volumet som framkommer er arealet ganget med dybden dx.

c) [tex]V(k)=\pi\int_0^9(x^{\frac12}-k)^2dx=\pi\int_0^9(x-2k\sqrt{x}+k^2)dx=9\pi k^2-36\pi k+\frac{81\pi}2[/tex]

d) For å finne når volumet blir minst må vi derivere V(k) og sette det lik 0.

[tex]V^\prime(k)=18\pi k-36\pi=0[/tex]

[tex]18k=36\;\;\to\;\;k=2[/tex]


Oppgave 5

a) v(0)=0 fordi farten er 0 etter 0 sekunder. Altså før du slipper ballen.

Integrerende faktor er [tex]e^{\frac14t}[/tex]

[tex]v^\prime\cdot e^{\frac14t}+\frac14v\cdot e^{\frac14t}=10e^{\frac14t}[/tex]

[tex]v\cdot e^{\frac14t}=10\int e^{\frac14t}dt[/tex]

[tex]v=Ce^{-\frac14t}+40[/tex]

v(0)=0 gir C=-40

[tex]v=40(1-e^{-\frac14t})[/tex]

b) [tex]s(t)=\int v(t)dt=40\int(1-e^{-\frac14t})dt=40(4e^{-\frac14t}+t)+C[/tex]

s(0)=0 så det gir C=-160

[tex]s(t)=40(4e^{-\frac14t}+t)-160[/tex]

c) Denne klarte jeg heller ikke så jeg låner løsningen til plutarco

plutarco skrev:Setter vi s(t)=30 får vi ligningen

[tex]30=40t+160(e^{-\frac14 t}-1)[/tex] som må løses for t.

Denne omformes til

[tex]0=40t+160e^{-\frac14 t}-190[/tex] som løses grafisk på kalkulatoren. (eller Wolfram alpha;) http://www.wolframalpha.com/input/?i=40 ... 25t%29%3D0

[tex]t\approx 2.73 sek. [/tex] når ballen når bakken.

d) For å finne v[sub]0[/sub] setter vi inn t=2 i uttrykket for v

[tex]v_0=40(1-e^{-\frac14\cdot2})\approx40-24.26=15.74[/tex]

Det er jeg også! Så håper der er noe der tar utfordringen. har ikke tilgang til pc pt. Så dette foregår på iphonen. Så blir litt tungt for meg at bidra med løsning i kveld.

Kan ta de lette^^ Må jo bygge opp litt streetcred her, og forberede meg til å ta denne neste år.


[tex] {\text{Oppgave 1}}[/tex]

[tex]a)[/tex]

[tex] f\left( x \right) = {x^2} \cdot \sin x [/tex]

[tex] \left( {uv} \right)^{\prime} = u \cdot v^{\prime} + u^{\prime}v [/tex]

[tex] f ^{\prime} \left( x \right) = {x^2} \cdot \cos x + 2x \cdot \sin x [/tex]

[tex] \underline{\underline {f\left( x \right) = x\left( {x\cos + 2\sin x} \right)}} [/tex]


[tex] b) [/tex]

[tex] Radianer{\rm{ er en avledet SI enhet som betyr noe slikt som buelengde delt p{\aa} radius}}{\rm{.}} [/tex]

[tex] {\rm{Ogs{\aa} kjent som absolutt vinkelm{\aa}l}}{\rm{. }}[/tex]

[tex] {\rm{Sammenhengen mellom radianer og grader er gitt ved formlene}} [/tex]

[tex] v = \frac{{{k^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}}\pi {\rm{ }} [/tex]

[tex]\text{og}[/tex]

[tex] {k^ \circ } = \frac{{{{180}^ \circ }}}{\pi }v{\rm{ }} [/tex]

[tex] {\rm{der k er vinkelen i grader og v er vinkelen i radianer}}[/tex]


[tex] d) \, 1) [/tex]

[tex] f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 4x + 4 [/tex]

[tex] f\left( 1 \right) = {1^3} - {1^2} - 4 \cdot 1 + 4 [/tex]

[tex] f\left( 1 \right) = 4 - 4 [/tex]

[tex] \underline{\underline {f\left( 1 \right) = 0}} [/tex]


[tex] d) \, 2) [/tex]

Fy søren polynomdivisjon er slitsomt i latex ^^

[tex]\begin{matrix}x^3 & - & x^2 & - & 4x & + & 4 & :\, x & - &1=\underline{\underline{x^2-4}} \\x^3 & - & x^2 & & & & & \\ \hline& & & - & 4x & + & 4 & \\& & & - & 4x & + & 4 & \\ \hline& & & & \text\cancel{O}\end{matrix}[/tex]


[tex] f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 4x + 4 [/tex]

[tex] f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) [/tex]

[tex] f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) [/tex]


[tex] 2)[/tex]

[tex] = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - {x^2} - 4x + 4}} [/tex]

[tex] Spiller{\rm{ det noen rolle hvilken vei man g{\aa}r ? }} [/tex]

[tex] {\rm{f{\o}ler ikke for {\aa} bedrive polynomdivisjon 3 ganger}}... [/tex]


[tex] = \frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} [/tex]

[tex] = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} - \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 1}} + \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} [/tex]

[tex] = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \right) + \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} [/tex]

[tex] = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {{x^2} + x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} [/tex]

[tex] = \frac{{{x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 4 + {x^2} + x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} [/tex]

[tex] = \frac{{{x^2} + {x^2} - {x^2} - 3x + x + 2 - 4 - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} [/tex]

[tex] = \frac{{{x^2} - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}[/tex]

[tex] \underline{\underline { = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - {x^2} - 4x + 4}}}}[/tex]


[tex] 3) [/tex]

[tex] = \int {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - {x^2} - 4x + 4}}dx} [/tex]

[tex] = \int {\left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}}} \right)dx} [/tex]

[tex] = \int {\frac{1}{{x + 2}}dx - \int {\frac{1}{{x - 1}}} dx + \int {\frac{1}{{x - 2}}} dx} [/tex]

[tex] \underline{\underline { = in \left( {x + 2} \right) + in \left( {x - 1} \right) - in \left( {x - 2} \right) + C}} [/tex]

Får se på resten siden

Siden jeg gjorde alternativ 1 på eksamenen, tar jeg alternativ 2 her.

Oppg.4 alternativ 2

Vi har funksjonen [tex]f(x)=x^{\frac12}, D_f=[0,9][/tex]

a) Bestem volumet av det omderiningslegemet vi får dersom grafen til f dreies 360^o om x-aksen.

Et lite tversnitt av figuren som framkommer viser at [tex]A=\pi (f(x))^2[/tex]. Figuren har dybde dx. [tex]V=\pi\int(x^{\frac12})^2dx[/tex]

[tex]V=\pi\int_0^9 xdx=\pi[\frac{1}{2}x^2]_0^9=\frac{81}{2}\pi[/tex]

En linje l er gitt ved ligningen y=k, der k er en konstant [tex]k \in [0,3][/tex]

b) Forklar at volumet av det omdreiningslegemet vi får når grafen til f dreies [tex]360^o[/tex] om linjen l, er gitt ved

[tex]V(k)=\pi\int_0^9(x^{\frac12}-k)^2 dx[/tex]

En liknende figur til den i oppgave a viser at [tex]A=\pi(f(x)-k)^2[/tex]

Volumet som framkommer er arealet ganget med dybden dx:

c) Finn V(k).

[tex]V=\pi\int_0^9 (x^{\frac12}-k)^2dx=\pi[\frac12 x^2-\frac43 kx^{\frac32}+k^2x]_0^9=\frac{81}{2}\pi-36\pi k+9k^2[/tex]

d) Bestem hvilken verdi for k som gir det minste volumet.

Deriverer V(k) mhp. k og setter lik null: [tex]\frac{dV}{dk}(\frac{81}{2}\pi-36\pi k+9\pi k^2)=18\pi k-36\pi[/tex]

[tex]18\pi k=36\pi[/tex]

[tex]k=2[/tex]

Når k=2 er volumet 14,14.

thmo skrev:
Oppgave 5

En ball med masse m=2kg slippes fra en høyde h=30m. Vi antar at luftmotstanden er proporsjonal med farten v. Fra tidligere forsøk vet vi at den maksimale farten denne ballen kan oppnå når den faller, er 40 m/s. Vi lar tyngdeakselerasjonen være 10 m/s[sup]2[/sup].

Bruker vi opplysningene ovenfor sammen med Newtons 2. lov, får vi at farten v må tilfredstille differensialligningen

[tex]v^\prime+\frac14 v=10[/tex]

der v=v(t) er farten etter t sekunder.

a) Forklar at v(0)=0 og løs differensialligningen.

Etter t sekunder har ballen falt strekningen s gitt ved [tex]s^\prime(t)=v(t)[/tex]

b) Finn et uttrykk for s(t).

c) Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?

I stedet for å slippe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten [tex]v_0[/tex].

d) Hva må [tex]v_0[/tex] være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?

Løsning:

5a) v(0)=0 siden ballen starter i ro. Vi velger positiv retning nedover.

[tex]\frac{dv}{dt}+\frac14 v=10[/tex]

Ligningen er separabel:

[tex]\int_{v(0)=0}^{v(t)} \frac{d\hat{v}}{10-\frac14 \hat{v}}=\int_0^t \,d\hat{t}[/tex] som resulterer i

[tex]\ln(40-v)-\ln(40)=-\frac14t[/tex]

[tex]\ln(\frac{40-v}{40})=-\frac14 t[/tex]

[tex]1-\frac{1}{40}v=e^{-\frac14 t}[/tex]

[tex]s^\prime =v=40(1-e^{-\frac14 t})[/tex].

Intermission:

Her ser vi at initialbetingelsen er innbakt i det bestemte integralet. Sjekker vi svaret ser vi at [tex]v(0)=40(1-e^{-\frac14 \cdot 0})=0[/tex], så det stemmer. Samtidig må vi teste om svaret virkelig løser ligningen:

Siden [tex]v^,=40\cdot \frac14 e^{-\frac14 t}=10e^{-\frac14 t}[/tex] er

[tex]v^\prime+\frac14 v=10e^{-\frac14 t}+\frac14 \cdot 40 (1-e^{-\frac14 t})=10[/tex] så det hele stemmer.

Da er det bare å integrere v for å finne s;

[tex]s=40t+160e^{-\frac14 t}+C[/tex].

Siden s(0)=0 blir C=-160:

[tex]s(t)=40t+160(e^{-\frac14 t}-1)[/tex]

Setter vi s(t)=30 får vi ligningen

[tex]30=40t+160(e^{-\frac14 t}-1)[/tex] som må løses for t.

Denne omformes til

[tex]0=40t+160e^{-\frac14 t}-190[/tex] som løses grafisk på kalkulatoren. (eller Wolfram alpha;) http://www.wolframalpha.com/input/?i=40 ... 25t%29%3D0

[tex]t\approx 2.73 sek. [/tex] når ballen når bakken.


Farten når ballen når bakken finnes lett ved innsetting i uttrykket for v.

Problemet er vel at verken Lamberts W eller Newtons metode er pensum for R2. Noe som gjør det hele ganske vanskelig å løse algebraisk.

Andreas345 skrev:Problemet er vel at verken Lamberts W eller Newtons metode er pensum for R2. Noe som gjør det hele ganske vanskelig å løse algebraisk.

Ja, det er umulig. Meningen er nok å løse den grafisk med kalkulatoren.

Uff... på oppgave 5 tok jeg integrerende faktor ... skulle vel skjønt at noe var galt.

fikk:

[tex]v = 40 + Ce^(-(1/4)x)[/tex]

Chopin skrev:Uff... på oppgave 5 tok jeg integrerende faktor ... skulle vel skjønt at noe var galt.

fikk:

[tex]v = 40 + Ce^(-(1/4)x)[/tex]

Du kan godt bruke integrerende faktor, og svaret ditt stemmer jo med C=-40

Takk!

Men.. videre i oppgaven skulle de ha avstand... jeg tok integralet av farten. Det ble rart... mener jeg gjorde det riktig.. tror jeg.. Også skulle jeg finne ut når den stoppet... alt ble bare håpløst.. jeg rota sykt.. og følte indre uro og kaos. meeh... til slutt tenkte jeg.. siden alt jeg gjorde ble bare ble feil... at jeg kunne ta å finne akselerasjonen.. så jeg deriverte farten og sa at hvis den = 0 så må jo den greia ha stoppet :p... jeg skjønte ikke hvordan jeg kunne finne ut det ved regning. Kalkulatoren "hang" seg.. og klarte ingenting.. Verste eksamen jeg har hatt i mitt liv... og jeg sov ekstremt dårlig i natt takket være den.

Oi... jeg innså noe nå... noe ekstremt usannsynlig dumt!

[tex] f ^{\prime} \left( x \right) = {x^2} \cdot \cos x + 2x \cdot \sin x [/tex]

Jeg fikk det samme. Men så delte jeg på cos! for å skrive det som tangens! Herregud.. det er jo verdens mest elementær feil som det går an å gjøre! Kommer sensor til å slakte meg når han ser det? Jeg har jo egentlig gjort den riktig oppe der.. men så gjorde jeg noe forferdelig dumt under... hva tenker dere?

Det kommer vel an på sensorene. Nå er ikke jeg utdannet eksamenssensor så jeg kan ikke uttale meg hvordan det oppfattes, men husk at det er helheten av prøven som vurderes, ikke poeng for poeng. Det trekker nok hovedinntrykket litt ned, men prøven er lang og resten av prøven er det viktigste for karakteren. Hvilken karakter pleier du å ligge på/er du fornøyd med?

Jeg blir glad hvis jeg består jeg. Ønsker bare å bli ferdig med vgs.

Jeg har laget et løsningsforlag her http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 761#111761
Hvis noen ser noen feil så er det bare å si ifra så skal jeg fikse det. Takk til alle som hjalp med å løse oppgavene!