Funksjoner/Definisjonsmengde

[kra]

Jeg skal finne definisjonsmengden til følgende funksjon:
f(t) = (t + 1)/(t[sup]2[/sup] - t - 2)

Jeg finner ut hvilke t-verdier som fører til 0 i neveren:
t[sup]2[/sup] - t - 2 = 0
ABC
x[sub]1[/sub] = 2 og x[sub]2[/sub] = -1

Her kommer spørsmålet. Hvis jeg vil bruke den, ehh, "D[sub]f[/sub]-notasjonen", hva er da riktig føring? Df = x != 2 ^ x != -1

(Med != mener jeg ikke-lik)

[knut1]

du må ha med at Df er R unntatt de to verdiene.

D[sub]f[/sub]={<<-..-1>,<-1..2>,<2..->>}

eller

D[sub]f[/sub]= R\{-1,2}


pil venstre er <- , høyre ->

[knut1]

du ser at for -1 blir både teller og nevner null.. Det betyr at du ikke kan være sikker på dette punktet UTEN å ha sjekket hva som skjer slik:

deriver teller on nevner hver for seg:

1/2t-1

prøver å sette inn -1 for t'en som vil gi -1/3

Det betyr at funksjonen duger helt fint for x=-1 !
Da gjenstår bare det ene unntaket..

kn

[Gjest]

Flott. Et siste spørsmål bare: Hva står R-en for?

[knut1]

R= Alle Reelle tall.

[kra]

du ser at for -1 blir både teller og nevner null.. Det betyr at du ikke kan være sikker på dette punktet UTEN å ha sjekket hva som skjer slik:

deriver teller on nevner hver for seg:

1/2t-1

prøver å sette inn -1 for t'en som vil gi -1/3

Det betyr at funksjonen duger helt fint for x=-1 !
Da gjenstår bare det ene unntaket..

kn

Er det L'Hôpitals regel du bruker? (Trodde man bare brukte den i forbindelse med grenser, jeg?)

Blir føringen da i dette tilfellet slik:

D[sup]f[/sup] = R/{2}

[Cauchy]

Det er L'Hopital ser det ut til. Poenget er nok at kontinuitet i et pukt er definert v.h.a. en grenseverdi. Her har vi både høyre og venstre-kontinuitet, og dermed er funksjonen kontinuerlig i punktet...

[Gjest]

Det er L'Hopital ser det ut til. Poenget er nok at kontinuitet i et pukt er definert v.h.a. en grenseverdi. Her har vi både høyre og venstre-kontinuitet, og dermed er funksjonen kontinuerlig i punktet...

Ah, skjønner. Smart, da! Hva med D[sub]f[/sub] = R/{2} -- blir det riktig for denne funksjonen?

[knut1]

ja. da har tu hele 'bildet'!.. bra!

[Gjest]

Hmm, jeg har visst fortsatt litt problemer med denne. Jublet nok litt for tidlig, men jeg forstod i hvert fall hva Cauchy mente:

Kontinuitet ved et punkt x = t er definert slik:

Kode: Velg alt

f(t) = lim f(x)
       x -> t

t = -1

f(-1) = Undefined

Kode: Velg alt

lim f(x) = lim (t + 1)/(t^2 - t - 2) = 0/0
x -> t     x -> -1

0/0 hinter om at L'Hôpitals regel kan nyttes:

Kode: Velg alt

lim (t + 1)'/(t^2 - t -2)' = lim 1/(2t - 1) = 1/-3
x -> -1                      x -> -1

Altså har vi: Undefined = -1/3 og følgelig må knut1 ta feil. Jeg tror
D[sub]f[/sub] = R/{-1,2} er riktig.

[Gjest]

Dessuten -- når jeg tenker meg om -- så er ikke undefined = undefined heller, eller ikke-eksisterende = ikke-eksisterende.

[Toppris]

Jeg har bare et lite spørsmål: Hvorfor har L'Hospital blitt dratt inn i dette?

[knut1]

grenseverdiene på begge sider når x->-1 er -1/3 og f(x) er -1/3 i punktet også.

Funksjonen er kontinuerlig i området rundet -1 !

0/0 er udefinert - det betyr at det kan være hva som helst (ikke noe annet) I dette tilfelle er 0/0 = -1/3 !

kn

[Toppris]

Men er grenseverdien viktig da?

En skal jo bare finne definisjonsmengden til funksjonen, da har det vel ikke noe å si om den er kontinuerlig eller ikke?

Mitt forslag er D[sub]f[/sub] = R/{-1,2}, og det på bakgrunn av at uansett hvordan du vrir og vender på det så er deling med 0 en ulovlig operasjon.

Og hva kontinuitet angår så er det et krav at funksjonen er definert i punkt x for at den skal være kontinuerlig. Det er ikke nok at grenseverdien er lik fra begge sider.

[knutn]

enda mer vrient?

(vi kan slippe ballen der)..., OK, å dele med null er er tull


så (men bittesmå bokstaver):
dette gjelder kun når teller er ulik null..

..sov på det..
...hva om f'(t)=1/(t-2)^2
..hvis DET er riktig så:

stigningstallet ved = x=-1[sub]-litt[/sub] = 1/9
stigningstallet ved = x=-1 = 1/9
stigningstallet ved = x=-1[sub]+litt[/sub] = 1/9

hva er funksjonsverdien ved x=-1 ?
fins det et stigningstall hvis det ikke fins en funksjonsverdi ?
vi kan jo i hvertfall leke med tanken..