Delbrøkoppspalting

[Cassidy]

Korleis regnar ein ut ditta?

§(x+4)/(x^2 + 2x)

Det einaste eg forstår ut frå boka mi er;

- andregradsfunksjonen
- sette kvart ledd i kvar sin brøk
- multiplisere med fellesnevnaren..

men kva så?

[Cassidy]

til dømes oppgåven her:

§(x+4)/(x^2+2x)

[mathvrak]

Kode: Velg alt

x+4            x+4
------   =   -------
x^2+2x        x(x+2)

Du ser nevner har to faktorer i et produkt.

vanskelig integrere,

  x+4
-------
 x(x+2)

delbrøksoppspalter, slik at det
blir enklere å integrere. A og B er foreløbig
to ukjente konstanter.


brøken skal omformes til:

  x+4        A         B
------- = ------- + -------
 x(x+2)      x        x+2


Her kommer det du lurer på. Gang med fellesnevner
for å fjerne brøk. Da ganger vi med x(x+2) for å få
bort brøken (vil finne A og B)

  x+4        A         B
------- = ------- + -------
 x(x+2)      x        x+2

x+4  = A(x+2)   + Bx

ordner om, faktoriserer A og B på høyre side:

x+4  = A(x+2)   + Bx
x+4  = Ax + 2A + Bx
x + 4  = x(A+B) + 2A

Får nå to likninger som vi kan løse A og B:

x + 4  = x(A+B) + 2A
A+B = 1 og
2A = 4 (spør hvis du ikke forstod dette)
A må være A=2, A+B=1 => 2+B=1, B=-1

kan nå skrive om

  x+4
-------
 x(x+2)

med

  x+4        A         B          2         1   
------- = ------- + -------  =  -----  -  -----
 x(x+2)      x        x+2         x        x+2

Denne (høyre side av likning)  er lettere å integrere.... (!)

[Cassidy]

A+B = 1 og
2A = 4 (spør hvis du ikke forstod dette)
A må være A=2, A+B=1 => 2+B=1, B=-1 ? ?
?

[Cassidy]

maaaaaaaaaathvraaaaaaaaak! skjønte det ikke!!!!!!!

[mathvrak]

A+B = 1 og
2A = 4 (spør hvis du ikke forstod dette)
A må være A=2, A+B=1 => 2+B=1, B=-1 ? ?
?

Du skjønte hvorfor

x+4 = A(x+2) + Bx
...
x + 4 = x(A+B) + 2A

Hvis likningen over skal være sann, må høyre og venstre side være like.
Derfor må det som står forran x altså A+B være lik 1. Videre, det som står etter x må være 4, derfor 2A=4. Da har du to likninger, to ukjente som du kan løse.


x+4 = x(A+B) +2A
x + 4 = x*1 + 4

Hvis 2A=4, må A=2. Hvis A+B = 1, må B = 1-A = 1-2 = -1