Geometri 3 - Innskrevet sirkel

[Nebuchadnezzar]

Igjen står jeg fast. Eller jeg har løst oppgaven men på en tungvint måte... Så om noen kunne fortelle meg den lette måten hadde jeg blitt veldig glad ^^

I en trekant er [tex]AB=4cm[/tex] og [tex]BC=3cm[/tex] vinkel [tex]A=45^0[/tex] og vinkel C er mindre enn 90 grader

a) Konstruer trekanten og den omskrevne sirkelen
b) Regn ut radien til den omskrevne sirkelen
c) Regn ut radien til den innskrevne sirkelen[/tex]

a) Gikk lekende lett, samme med b)

c) Brukte jeg veldig lang tid på å løse. Formelen for radien til den innskrevne sirkelen er [tex]r = \frac{2T}{a+b+c}[/tex] der [tex]T[/tex] er arealet av trekanten og [tex]a , b[/tex] og [tex]c[/tex] er sidene.

For å løse denne brukte jeg først cosinus setningen til å finne AC, deretter brukte jeg arealsetningen for å finne arealet av trekanten. Så puttet jeg svarene mine inn i formelen. Svaret ble 1, men når svaret er så enkelt som 1 burde det jo være en lettere måte...

[Fibonacci92]

Hvorfor skal det alltid finnes en enklere måte??:P

[Nebuchadnezzar]

Nei, si det ^^ Føler alltid at jeg velger en tungvindt måte til å løse disse geometrioppgavene på. Har enda en oppgave jeg ikke forstår.

(Jeg er faktisk flink og gjør minst 3 oppgaver for hver oppgave jeg spør om)

Viss at summen av katetene i en rettvinklet trekant er lik hypotenusen pluss diameteren til den innskrevne sirkelen

Om vi sier at a er den korte kateten og b er den lange får vi at

[tex]a + b = c + 2r[/tex]

[tex]{c^2 = a^2 + b^2}[/tex] og [tex]r = \frac{2T}{a+b+c}[/tex] og [tex]T=\frac{1}{2}ab[/tex]

Putter vi inn T verdien i ligning 3 inn i 2 får vi

[tex]r = \frac{ab}{a+b+c}[/tex]

Og her stopper jeg opp, klarer ikke og omforme denne slik den ligner det jeg skal bevise...

[Fibonacci92]

Har du konstruert figuren?


Jeg antar at du har brukt halveringslinjer for å konstruere den innskrevne sirkelen. Hvis du trekker linjer fra sentrum av sirkelen til tangeringspunktene på AB, AC og BC, får du 6 nye rettvinklete trekanter.

Klarer du å se løsningen nå?

[Janhaa]

Nei, si det ^^ Føler alltid at jeg velger en
Vis at summen av katetene i en rettvinklet trekant er lik hypotenusen pluss diameteren til den innskrevne sirkelen
Om vi sier at a er den korte kateten og b er den lange får vi at
[tex]a + b = c + 2r[/tex]
Og her stopper jeg opp, klarer ikke og omforme denne slik den ligner det jeg skal bevise...

her må du ha tegning etc, sett:
[tex]AC=b=AP+PC=AM+r[/tex]
P er der radiusen fra sirkelen skjærer AC (til trekanten), [tex]\,\,r\perp AC[/tex]
AP = AM, pga formlike trekanter
videre:
[tex]BC=a=BN+NC=BM+r[/tex]
N er der radiusen fra sirkelen skjærer BC (til trekanten), [tex]\,\,r\perp BC[/tex]
BN = BM, pga formlike trekanter
-------------------------------------
dvs:

[tex]a+b=AM+BM+2r[/tex]

[tex]a+b=c+2r[/tex]

(der AM+BM = AB = c).

[ollis92]

lurer av rein nysjerrighet, hva gjorde du på a og b?

[Nebuchadnezzar]

Ollis92 på a) gjorde jeg følgende
1) Konstruerte en linje på 4cm og kalte ytterpunktene for A og B
2) Konstruerte en 90 graders vinkel gjennom A og halverte denne til 45
3) Så satte jeg passeren i B og laget en runding med radius 3
4) Denne skjærer 45 graders linjen til A to steder, da valgte jeg det punktet som er lengst vekk fra A. Siden dette punktet er det deneste punktet der vinkel C er mindre enn 90 grader.

På b) brukt jeg formelen [tex]2R = \frac{a}{sin(a)} = \frac{b}{sin(b)} = \frac{c}{sin(c)} [/tex]

[tex]2R = \frac{c}{sin(c)} [/tex]

[tex]2R = \frac{BC}{sin(A)} [/tex]

[tex]2R = \frac{3}{sin(45)} [/tex]

[tex]2R = \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{2}} [/tex]

[tex]R = \frac{3}{2}\sqrt{2} [/tex]

Skal straks titte på den neste oppgaven, forstod ikke så mye av hintene deres men jeg skal prøve !