Lengden av en kurve

[TrulsBR]

For eksempel f(x)=x[sup]2[/sup]

[itgl][/itgl][rot]1+4x[sup]2[/sup][/rot]dx = ?

Hvordan regner man ut dette integralet?

Hva med f(x)=x[sup]3[/sup]+1 ?

[oro2]

Lengden av f(x)= x[sup]2[/sup] er jo uendelig.

[mathvrak]

Lengde s av en kurve fra a til b på x-aksen er:

s = [itgl][/itgl][rot][/rot](1+(dy/dx)[sup]2[/sup])dx

[TrulsBR]

Glemte aa presisere at det skulle vaere mellom to bestemte verdier for x.
Jeg trodde formelen var [itgl][/itgl][rot]1+[f'(x)][sup]2[/sup][/rot]dx?
Spoersmaalet mitt var mest hvordan man regner ut disse ubestemte integralene naar f(x) blir mer komplisert enn y = ax + b.

For eksempel x[sup]2[/sup] eller x[sup]3[/sup] + x.

[mathvrak]

Jeg minnes ikke i farten hvordan man løser det uttrykket,
men bak i kalkulus boka mi står det "Table of Integrals"
Forms involving Squareroot( u^2 +- a^2 )

[itgl][/itgl][rot][/rot](u[sup]2[/sup]+-a[sup]2[/sup])du = (u/2) [rot][/rot](u[sup]2[/sup]+-a[sup]2[/sup]) +- (a[sup]2[/sup]/2) ln| u + [rot][/rot](u[sup]2[/sup]+-a[sup]2[/sup]) | + C

Integranden vår er [rot][/rot](1 + (2x)[sup]2[/sup])

Da må u=2x og a=1, og fortegnet "+-" skal skrives som "+" denne gangen.

[mathvrak]

Glemte aa presisere at det skulle vaere mellom to bestemte verdier for x.
Jeg trodde formelen var [itgl][/itgl][rot]1+[f'(x)][sup]2[/sup][/rot]dx?
Spoersmaalet mitt var mest hvordan man regner ut disse ubestemte integralene naar f(x) blir mer komplisert enn y = ax + b.

For eksempel x[sup]2[/sup] eller x[sup]3[/sup] + x.

Når det gjelder buelengden kan man velge:

s = ∫√(1+(dy/dx)[sup]2[/sup])dx som forsåvidt er det samme som, hvis y=f(x)

s = ∫√(1+[f'(x)][sup]2[/sup])dx

eller

s = ∫√(1+(dx/dy)[sup]2[/sup])dx



Beklager det kjenner jeg ikke til. Bakerst i boka mi står det endel ferdige formler for slike integraler og jeg regner derfor med at det ikke er noen enkel løsning. Står antagelig bakerst i boken din også.