matematikk.net

Sliter med to oppgaver i vektorfunksjoner:
567
r(t)=[t^2-1,t^2+4t+1]
b)Finn koordinatene til de punktene der grafen er parallell med en av koordinataksene.
571
En kanonkule skytes ut med en fart v0=100m/s. Ved utskytningen danner banen til kula en vinkel på 20* med horisontalplanet. Vi ser bort fra luftmotstanden.En kan vise at kula da vil følge kurven r(t)=[94t, 34t -4,9t^2]
b) Hvor stor er høydeforskjellen mellom kula og utskytningspunktet når kula er på det høyeste?
c) Kula faller ned 100m lavere enn utskytningspunktet. Hvor langt har kula beveget seg i horisontal retning? Finn banefarten når den treffer bakken.

Veldig artige oppgaver ^^

Skal virkelig hjelpe deg, men hva har du selv tenkt eventuelt prøvd å gjøre på disse oppgavene ?

571 c) har jeg ikke prøvd noe særlig på enda, kom ikke på noen måte å løse den på. b) prøvde jeg å derivere og finne toppunktet for "y-delen", men dette ble bare tull.
567 Har jeg og prøvd en del surr på, en av måtene kom jeg tilfeldigvis fram til et riktig svar på, men den har så mange logiske brister når jeg ser på den en gang til at den er bare å glemme

Står ganske fast på alle med andre ord:)

Her er en grov skisse til første oppgaven.
Tinger er at man setter første likningen lik 0. Altså man finner for hvilken t verdi x=0 og y verdien er lett å finne når man vet x verdien.

5.67

[tex]r\left( t \right) = \left[ {t^2 - 1,t^2 + 4t + 1} \right] \Leftrightarrow r\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}x = t^2 - 1 \\ y = t^2 + 4t + 1 \\ \end{array} \right.[/tex]

[tex] 0 = t^2 - 1 \Rightarrow t = \pm 1{\rm{ }}which{\rm{ }}means{\rm{ }}y = \left( {1 \pm } \right)^2 + 4\left( { \pm 1} \right) + 1 \Rightarrow y = 6 \vee y = - 2 \Rightarrow A\left( {0,6} \right) \vee B\left( {0, - 2} \right)[/tex]

[tex] 0 = t^2 + 4t + 1 \Rightarrow t = - 2 \pm \sqrt 3 {\rm{ }}which{\rm{ }}means{\rm{ }}x = \left( { - 2 \pm \sqrt 3 } \right)^2 + 1 \Rightarrow x = 6 \pm 4\sqrt 3 \Rightarrow C\left( {6 \pm 4\sqrt 3 ,0} \right) \vee D\left( {6 - 4\sqrt 3 ,0} \right) [/tex]

5.71

[tex] r\left( t \right) = \left[ {94t,34t - 4.9t^2 } \right] \Leftrightarrow r\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}x = 94t \\ y = 34t - 4.9t^2 \\ \end{array} \right. [/tex]

b)
[tex] \frac{d}{{dx}}y = \frac{d}{{dx}}\left( {34t - 4.9t^2 } \right) = 34 - 9.8t \Rightarrow t = \frac{{170}}{{49}} \approx {\rm{3}}{\rm{.4694}}[/tex]

[tex] x = 94t \Rightarrow x = 94 \cdot \frac{{170}}{{49}} \Rightarrow x = \frac{{{\rm{15980}}}}{{49}} \approx {\rm{326}}{\rm{.12}} [/tex]

c)

[tex] y = 34 - \frac{{49}}{{10}}t^2 {\rm{ og }} - 100 = 34t - \frac{{49}}{{10}}t^2 \Rightarrow t = \frac{{170 + 10\sqrt {779} }}{{49}} [/tex]

[tex] x = 94t{\rm{ og }}x = 94\left( {\frac{{170 + 10\sqrt {779} }}{{49}}} \right) \Rightarrow x = \frac{{15980 + 940\sqrt {779} }}{{49}} \Rightarrow {\rm{861}}{\rm{.56}[/tex]

[tex] Banefart = \sqrt {\left( {\frac{d}{{dx}}x} \right)^2 + \left( {\frac{d}{{dx}}y} \right)^2 } \Rightarrow B\left( t \right) = \sqrt {\left( {94} \right)^2 + \left( {34 - 9.8t} \right)^2 } \Rightarrow B\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt {249800 - 16660t + 2401t^2 } [/tex]

[tex] B\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt {249800 - 16660t + 2401t^2 } \Rightarrow B\left( {\frac{{170 + 10\sqrt {779} }}{{49}} } \right) = 12\sqrt{83} } \approx {\rm{109}}{\rm{.3252029}}m/s[/tex]

Prøv å forstå dette, og mellomregningene må du ta selv

På 567 har du regnet ut skjæringspunktene, ikke "parallellpunktene".
Tenkte litt mer på den i løpet av i går kveld og fant løsningen.
Det man gjør er at man tenker at for at noe skal være parallelt med f.eks. x aksen må stigningen være lik 0 på y aksen, og viceversa for y aksen. Deriverer man da vektorfunksjonen og setter x og y = 0 får jeg rett svar og det er også veldig logisk.
På 571 er jeg enig i at det du har gjort på c) er logisk og ser riktig ut, og det stemmer med fasiten også.
På b) derimot forstår jeg ikke helt hvordan du tenker, har du prøvd å finne toppunktet til en vektorfunksjon via å sette den deriverte lik 0? I så fall tror jeg man må gjør den om til en vanlig funksjon først, er ikke helt sikker på hvordan man gjør det. Svaret er heller ikke korrekt(skal bli 59). Har heller ikke funnet ut noe mer av denne selv
Ny oppgave:
569
Anne fant et revespor. Etter at hun hadde gjort en del registreringer, fant hun ut at reven hadde fulgt grafen til r(t)=[t^3-t, 3t^2 +1]. Revesporet går to ganger gjennom samme punkt. Bestem koordinatene til dette punktet. Finn også vinkelen mellom fartsretningene.
Har ingen aning om hvordan jeg regner ut denne skikkelig, men plugger man den inn i TABLE på kalkisen er det ganske lett. Da får man svart t=-1 og 1 og punktet (0,4). Jeg forstår heller ikke hva som menes med vinkelen mellom fartsretningene. Hvilke fartsretninger er det her det er snakk om? Både banefarten og v(t) blir jo lik for t=-1 og t=1. Det andre jeg stusser på er at siden r(t) er en funksjon av tiden(?) er vel det en feil at man tar med negative verdier? Lurer også på om noen av dere har en lur måte å regne ut 569 skikkelig.

Var litt trøtt når jeg gjorde den ja, her er rett svar på 5.71 b)

[tex] r\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}y = 34t - 4.9t^2 \\ x = 94t \\ \end{array} \right.[/tex]

[tex] St{\o}rst{\rm{ h{\o}yde finner vi n{\aa}r vi deriverer funksjonen}}{\rm{. H{\o}yden er gitt ved y kordinatetene}} [/tex]

{\rm{og dermed er det denne vi deriverer}}{\rm{. }}

[tex] \frac{d}{{dx}}y = \frac{d}{{dx}}34t - 4.9t^2 = 34 - \frac{{49}}{5}t \Rightarrow t = \frac{{170}}{{49}} [/tex]

[tex] y\left( t \right) = 34t - 4.9t^2 {\rm{ og }}y\left( {\frac{{170}}{{49}}} \right) = \frac{{2890}}{{49}} \approx 58.980[/tex]

Skal se på neste oppgave snart.