Heldagsprøve R2 - 22.04.2010

[Realist1]

Dere vet hva det går i. 2 timer på del 1, kun penn. 3 timer på del 2, alt unntatt kommunikasjon tillatt.

Oppgave 1
a)
En rekke er gitt ved
[tex]1+5+9+13+ ...[/tex]
1) Finn ledd nr. 20 i rekken
2) Finn summen av de 20 første leddene

b)
Vi ser nå på rekken
[tex]\frac12 + \frac13 + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + ...[/tex]
1) Finn en formel for summen av de n første leddene i rekken.
2) Finn summen av den uendelige rekken.
3) Bruk formelen du fant i oppgave b1) til å vise at rekken konvergerer.

c)
Nå studerer vi den uendelige rekken
[tex]1+\sin x + (\sin x)^2 + (\sin x)^3 + ...[/tex] der [tex]x \in [0,2\pi][/tex]
1) For hvilke x konvergerer denne rekken?
2) For hvilke x har rekken summen 2?


Oppgave 2
a) Finn integralene ved regning.

1) [tex]\int (6x^2 - 4x) dx[/tex]

2) [tex]\int \frac{4x}{x^2 - 4} dx[/tex]

3) [tex]\int \frac{4}{x^2 - 4} dx[/tex]

b)
Et flatestykke er avgrenset av den positive x-aksen, linjen [tex]x=a[/tex] og grafen til funksjonen [tex]g(x)=x^2[/tex]
Bestem [tex]a[/tex] slik at arealet av flatestykket blir 9.

c)
Kommer med den senere. Må tegne en graf for at oppgaven skal ha noen hensikt.

[Realist1]

DEL 2

Oppgave 3
Punktene [tex]A(1,1,2)[/tex], [tex]B(3,4,3)[/tex] og [tex]C(0,2,4)[/tex] ligger i planet [tex]\alpha[/tex].

a)
Finn [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex].

b)
Finn en normalvektor [tex]\vec n[/tex] for planet [tex]\alpha[/tex].

c)
Finn en likning for planet [tex]\alpha[/tex].

d)
Finn arealet av trekanten [tex]ABC[/tex].

e)
Et punkt [tex]D[/tex] har koordinatene [tex](2,3,a)[/tex]. Bestem tallet [tex]a[/tex] slik at pyramiden [tex]ABCD[/tex] har volumet [tex]5[/tex].

f)
Forklar at vektoren [tex]\vec{AB}\times\vec{n}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{AB}[/tex] og er parallell med planet [tex]\alpha[/tex].

g)
En linje i planet [tex]\alpha[/tex] går gjennom [tex]C[/tex] og står vinkelrett på [tex]\vec{AB}[/tex]. Finn en parameterframstilling for denne linja.


Oppgave 4
En funksjon g er gitt ved
[tex]g(x) = \sin \left(\frac{\pi}{2}x\right) - \sqrt 3 \cos \left(\frac{\pi}{2}x\right), \ \ \ \ x \in [0,6][/tex]

a)
Tegn grafen til g.

b)
Løs likningen [tex]g(x)=1[/tex] grafisk.

c)
Bruk grafen til å skrive [tex]g(x)[/tex] på formen
[tex]g(x) = a\sin (kx+c)+d[/tex]

d)
Løs likningen under ved regning:
[tex]\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \sqrt 3 \cos \left(\frac{\pi}{2}x\right)=1, \ \ \ \ \ x \in [0,6][/tex]


Oppgave 5
a)
Lag en grov skisse av grafene [tex]f(x)=\sin x[/tex] og [tex]g(x)=\cos x[/tex] for [tex]x\in\left[0 \, , \, \frac{\pi}{2}\right][/tex].

b)
Andreaksen og grafene f og g avgrenser et areal A. Finn ved regning dette arealet.

c)
Når vi roterer grafene 360[sup]o[/sup] om førsteaksen, tegner arealet A et volum. Vis ved regning at dette volumet er lik [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].


Oppgave 6
Vi har gitt differensiallikningen
[tex]y^{\tiny\prime} + 2xy = 2x[/tex]

a)
Finn den generelle løsningen ved å løse ligningen som en separabel differensiallikning.

b)
Finn den generelle løsningen ved å bruke [tex]e^{x^2}[/tex] som integrerende faktor.

c)
Finn den løsningen som oppfyller kravet [tex]y(0)=0[/tex].


Noen løsningsforslag? Hva synes dere om prøven?

[Andreas345]

Fin prøve det der, fikk litt fra alle kapitlene. Hvordan gikk det?

[Realist1]

Hvordan gikk det?

Til granskogen.

Og med granskogen mener jeg GRANSKAUEN, som blir sensurert her inne.

Og med GRANSKAUEN mener jeg hææeelevetteee.

[Sievert]

Hvordan gikk det?

Til granskogen.

Og med granskogen mener jeg GRANSKAUEN, som blir sensurert her inne.

Og med GRANSKAUEN mener jeg hææeelevetteee.

Hvorfor? Du er jo flink i matte. Skulle ikke være noe problem det.

[Janhaa]

Hvordan gikk det?

Til granskogen.
Og med granskogen mener jeg GRANSKAUEN, som blir sensurert her inne.
Og med GRANSKAUEN mener jeg hææeelevetteee.

settet virka jo variert og fint...synd du missa da...(du er jo flink).

[bartimeus25]

Prøven virker jo greit, ikke for lett og ikke for komplisert. Men du Realist1 hva lags bok bruker dere? Er det fra Aschehoug?

[Realist1]

Vi bruker Sinus. Og ja, det er bare meg selv som er elendig, har ikke noe å utsette på prøven. Tar i mot løsningsforslag med stor takk.

[anlif]

Skal gå igjennom den etter skolen i morgen. Driver å gjør meg klar for privatist eksamen i R2, så er også glad for løsningsforslag fra andre

Ser ut som en bra prøve

alf

[bartimeus25]

Vi bruker Sinus. Og ja, det er bare meg selv som er elendig, har ikke noe å utsette på prøven. Tar i mot løsningsforslag med stor takk.

Hehe , må ikke klandre deg så mye. Eg og har hatt sånne dager der prøven gikk mild sagt til granskogen. Faktisk 2 karakterer ned.

Angående løsningsforslag:
Jeg jobber nå med gamle terminprøver, så har ikke så mye tid. Men takk for at prøven, skal kanskje regne gjennom i morgen og forhåpentligvis legge ut fasit her på forum.

[Realist1]

Faktisk 2 karakterer ned.

Ja, jeg har vært bunnsolid på 6eren i matematikk helt siden vi begynte med karakterer i åttende klasse for nesten seks år siden, men jeg tviler sterkt på at jeg kan håpe på noe særlig mer enn 4 på denne.

Oppgave 2a3) slurvet jeg til. Klarte å kludre med delbrøkoppspaltingen, helt vanvittig talentløst.

På oppgave 3e) hadde jeg tre forskjellige forslag til løsning, som ga tre vidt forskjellige svar. Jeg bestemte meg for å gå med den som virket mest riktig, uten at jeg har anelse på hvorfor de to andre eventuelt var feil.

På oppgave 4b) spyttet kalkulatoren ut tre løsninger på ligningen g(x)=1 i intervallet x€[0,6], nemlig x=1, x=7/3 og x=5. Når jeg skulle løse den ved regning i 4d) kunne jeg verken fatte elle begripe hvorfor x=5 skulle gi en løsning på oppgaven. Husker ikke hva jeg endte opp med å gjøre, men den irriterte meg.

Oppgave 5a) klarte jeg på tredje forsøk etter å ha lest feil av oppgaven og slurvet når jeg rablet ned grafskissene i full fart. Leste først av x skulle være i intervallet 0 til 2pi, men det var det jo ikke.

5b) tror jeg gikk fint. Husker faktisk ikke.

5c) gikk straka vegen heim te satan. Etter ****** mye klussing og kludring og kladding endte jeg opp med et helt annet svar enn det jeg skulle vise. Og da hadde jeg prøvd meg direkte på innføringsarket pga mangel av tid.

Hoppet glatt over hele oppgave 6 da jeg var steik forbanna, og med 10 minutter igjen av tentamen var jeg fint lite interessert i differensialligninger så jeg leverte bare det jeg hadde skrevet, takket for meg og sa adjø.

Har aldri, aldri vært så misfornøyd med en heldagsprøve før, uansett fag.

[henrikc]

Jeg kikket gjennom denne i går, og fikk akkurat samme i dag. Synd jeg ikke regnet gjennom, hadde sikkert hjulpet litt.
Gjorde et par dumme feil i farten også, f.eks. at [symbol:integral] 2 dx= x^2 :/
Sånn går det når man har dårlig tid.

Men uansett, det var en bra lagd prøve. Fikk med det aller meste, vi slapp unna induksjonsbeviset og jeg tror den gikk bra!

[bartimeus25]

Realist1: Teller den heldagsprøve så mye? Hvis du sier at du har hatt 6ere hele tiden og plutselig får 4, ville ikke du fått 5 som standpunktkarakter?
Min lærer mente iallefall at heldagsprøve alene ville ikke telle som 100%

[Nebuchadnezzar]

Oppgave1

[tex] 1){\rm{ }}d = 4{\rm{ }}og{\rm{ }}a_1 = 1{\rm{ }} [/tex]

[tex] {\rm{a}}_n = a_1 + \left( {n - 1} \right) \cdot d \Rightarrow a_{20} = 1 + \left( {20 - 1} \right) \cdot 4 \Rightarrow a_{20} = {\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}77{\rm{ }}}} {\rm{ }}[/tex]

[tex] 2){\rm{ }}s_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n \Rightarrow s_{20} = \frac{{1 + 77}}{2} \cdot 20 \Rightarrow s_{20} = {\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}780{\rm{ }}}} [/tex]

[tex] b){\rm{ }}\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{{27}} + ...{\rm{ }}\frac{1}{3}:\frac{1}{2} = \frac{2}{3},\frac{2}{9}:\frac{1}{3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ }}a_n = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1} {\rm{ }}}} {\rm{ og }}s = \frac{{a_1 }}{{1 - k}} = \frac{1}{2}:\left( {1 - \frac{2}{3}} \right) = \frac{1}{2}:\frac{1}{3} = \frac{3}{2}[/tex]

[tex] c){\rm{ 1)}}x{\rm{ }}Divergerer{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}0 < x \le \frac{1}{2}\pi {\rm{ }}og{\rm{ }}x{\rm{ }}konvergerer{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}\frac{1}{2} > x > 2\pi[/tex]

[tex] 2) - \frac{1}{{\sin \left( x \right) - 1}} = 2 \Rightarrow \sin \left( x \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow {\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}x = \frac{1}{6}\pi {\rm{ }}}} [/tex]

Kanskje jeg tar resten av Del 1 og...

Oppgave2

[tex] 1){\rm{ }}\int {\left( {6x^2 - 4x} \right)dx = 2x^3 } - 2x^2 + C [/tex]

[tex] 2){\rm{ }}\int {\frac{{4x}}{{x^2 - 4}}} dx = \int {\frac{{4x}}{u}\frac{{du}}{{2x}}} = 2\int {\frac{1}{u}du = 2\ln \left( u \right)} + C = \underline{\underline {{\rm{ }}2\ln \left( {x^2 - 4} \right) + C{\rm{ }}}} [/tex]

[tex] 3){\rm{ }}\int {\frac{4}{{x^2 - 4}}} = \int {\frac{4}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = } \int {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} = \ln \left( {x - 2} \right) - \ln \left( {x + 2} \right) + C [/tex]

[tex] b){\rm{ g}}\left( x \right) = x^2 {\rm{ og }}\int\limits_0^a {x^2 } = 9 \Rightarrow \left[ {\frac{1}{3}x^3 } \right]_0^a = 9 \Rightarrow \frac{1}{3}a^3 = 9 \Rightarrow a = 3 [/tex]

[3DG3]

Er ikke noe flink med tex, så jeg skriver kun svarene hvis det er lov Kan utdype hvis noen trenger en forklaring...
Tar forbehold om slurvefeil og andre tulleting.
Del 2
3a) AB=[2, 3, 1] AC=[-1, 1, 2]
b) normalvektor = [5, -5, 5]
c) 5x-5y+5z-10=0
d) [symbol:rot] (75/4)
e) a=6
f) normalvektor= ABxAC
ABxN => ABxABxAC
ABxAB er vel nullvektor (?), dermed er den vinkelrett på alt og parallell med alt
g) har ikke gjort denne ennå
4a) tegnet den på Geogebra
b) g(x)=1 => x=1
c) 2 sin (( [symbol:pi]/2)*(x-0,67))
d) har ikke gjort ennå
5a) lagde på GeoGebra
b) A[symbol:tilnaermet] 5,66
c) fikk ikke denne til (gjorde sikkert b feil eller noe)
6a) y=-Ce^(x^2)+1
b) skjønte ikke hva oppgaven mente
c) y=-e^(x^2)+1 (ikke helt sikker på denne)