Årsprøve Matematikk R1
Lagt inn: 25/04-2010 23:08
Uten sannsynlighet, grunnet at vi ikke rakk igjennom hele pensum før årsprøven.
Årsprøve Matematikk R1
Del 1: Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler.
Tid 2 timer.
Oppgave 1
Løs likningene ved regning.
a) [tex]3lgx^{5} - 35 = 10[/tex]
b) [tex]e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0[/tex]
Oppgave 2
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x) = \frac{2x+1}{x-2}[/tex]
a) Finn eventuelle asymptoter for grafen til f.
b) Finn f'(x)
c) Løs ulikheten ved regning. [tex]f(x)<-3[/tex]
Oppgave 3
Polynomet P(x) er git ved
[tex]P(x) = 2x^{3}-x^{2}-2x+1[/tex]
a) Vis at =(x) er delelig med 2x-1 uten å utøre divisjonen.
b) Utfør divisjonen P(x) : (2x-1), og finn alle nullpunktene til P.
c) Finn likningen til tangenten til grafen til P i punktet (0,P(0)).
Oppgave 4
Vi har gitt funksjonen [tex]f(x)=4e^{-2x{2}}[/tex]
a) Finn f'(x)
Vi har tegnet grafen til f sammen med et innskrevet rektangel ABCD. Punktene A og B ligger på x-aksen, og punktene C og D ligger på grafen til f. Punktet B har koordinatene (x,0), der x>0.
Bilde/graf kommer kanskje?
b) Finn koordinatene til A, C og D uttrykt ved x.
c) Vis at arealet A(x) av rektangelet er [tex]A(x)=8xe^{-2x^{x}}[/tex]
d) Finn ved regning den verdien av x som gir størst areal. Finn den eksakte verdien av arealet for denne x-verdien.
Oppgave 5
I trekant ABC setter vi [tex]\vec{AB} = \vec{a}[/tex] og [tex]\vec{AC} = \vec{b}[/tex]. La D være et punkt slik at [tex]\vec{AD} = \frac{3}{4}\vec{a}[/tex]. Videre er E et punkt slik at [tex]\vec{BE} = -\frac{1}{3}\vec{b}[/tex].
a) Tegn en trekant ABC og plasser punktene D og E.
b) Finn [tex]\vec{CD}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex].
c) Undersøk om punktene C, D og E ligger på samme linje.
Del 2
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Tid: 3 timer
Oppgave 6
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x) = 5x(ln x)^{2}[/tex], x>0
a) Finn ved regning nullpunktet til f.
b) Vis at f'(x)[tex] = 5ln x(ln x+2)[/tex]
c) Finn ved regning toppunktet og bunnpunktet til .
d) Finn f''(x).
e) Finn ved regning koordinatene til vendepunktet.
f) Tegn grafen til f når x E <0,2>
Oppgave 7
En vektorfunksjon er gitt ved [tex]\vec{r}(t) = [t^{2}-1,t^{2}-2t-3][/tex]
a) Finn ved regning skjæringspunktene mellom grafen til [tex]\vec{r}[/tex] og koordinataksene.
b) Vis ved regning a punktet (3,-3) ligger på grafen til [tex]\vec{r}[/tex].
c) Finn en paramterfremstilling for tangenten i punktet (3,-3).
d) Undersøk om det finnes en verdi av t slik at [tex]\vec{r}[/tex]'[tex](t)[/tex] står normalt på [tex]\vec{r}[/tex]''[tex](t)[/tex].
e) Tegn en skisse av grafen til vektorfunksjonen for t E [-3,4]
Oppgave 8
På deler av denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy med dynamisk programvare.
Vi har gitt en sirkel med sentrum i origo og radius 5 cm. Fra punktet B (13,0) går det to tangenter til sirkelen. Tangeringspunktene er C og D.
a) Regn ut lengden av BC.
Mellom C og D (sirkelbuen mot B) er det et punkt E på sirkelen. Tangenten til sirkelen i E skjærer de to andre tangentene i F og G.
b) Regn ut lengden av EF når punktet E ligger på x-aksen.
c) Regn ut omkretsen av trekanten GBF når E ligger på x-aksen.
Oppgave 9
Gitt en sirkel som går igjennom punktene A(0,0), B(12,0) og C(10,10). Inne i sirkelen er det innskrevet en trekant ABC.
a) Finn [tex]\vec{AC}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex].
b) La M være midtpunktet på BC.
Finn ved regning koordinatene til M.
c) Hvis vi flytter punktet C langs buen CD til punktet D, vil vinkel C være uendret. Forklar dette.
d)
1) Finn vinkel C ved regning.
2) Finn vinkel ASB.
e) La l være midtnormalen til linjestykket BC.
1) Vis ved regning at [5,1] er en retningsvektor for l.
2) Finn en parameterfremstilling for l.
f) Finn koordinatene til S.
g) Finn ved regning radien i sirkelen.
Lykke til!
Årsprøve Matematikk R1
Del 1: Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler.
Tid 2 timer.
Oppgave 1
Løs likningene ved regning.
a) [tex]3lgx^{5} - 35 = 10[/tex]
b) [tex]e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0[/tex]
Oppgave 2
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x) = \frac{2x+1}{x-2}[/tex]
a) Finn eventuelle asymptoter for grafen til f.
b) Finn f'(x)
c) Løs ulikheten ved regning. [tex]f(x)<-3[/tex]
Oppgave 3
Polynomet P(x) er git ved
[tex]P(x) = 2x^{3}-x^{2}-2x+1[/tex]
a) Vis at =(x) er delelig med 2x-1 uten å utøre divisjonen.
b) Utfør divisjonen P(x) : (2x-1), og finn alle nullpunktene til P.
c) Finn likningen til tangenten til grafen til P i punktet (0,P(0)).
Oppgave 4
Vi har gitt funksjonen [tex]f(x)=4e^{-2x{2}}[/tex]
a) Finn f'(x)
Vi har tegnet grafen til f sammen med et innskrevet rektangel ABCD. Punktene A og B ligger på x-aksen, og punktene C og D ligger på grafen til f. Punktet B har koordinatene (x,0), der x>0.
Bilde/graf kommer kanskje?
b) Finn koordinatene til A, C og D uttrykt ved x.
c) Vis at arealet A(x) av rektangelet er [tex]A(x)=8xe^{-2x^{x}}[/tex]
d) Finn ved regning den verdien av x som gir størst areal. Finn den eksakte verdien av arealet for denne x-verdien.
Oppgave 5
I trekant ABC setter vi [tex]\vec{AB} = \vec{a}[/tex] og [tex]\vec{AC} = \vec{b}[/tex]. La D være et punkt slik at [tex]\vec{AD} = \frac{3}{4}\vec{a}[/tex]. Videre er E et punkt slik at [tex]\vec{BE} = -\frac{1}{3}\vec{b}[/tex].
a) Tegn en trekant ABC og plasser punktene D og E.
b) Finn [tex]\vec{CD}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex].
c) Undersøk om punktene C, D og E ligger på samme linje.
Del 2
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Tid: 3 timer
Oppgave 6
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x) = 5x(ln x)^{2}[/tex], x>0
a) Finn ved regning nullpunktet til f.
b) Vis at f'(x)[tex] = 5ln x(ln x+2)[/tex]
c) Finn ved regning toppunktet og bunnpunktet til .
d) Finn f''(x).
e) Finn ved regning koordinatene til vendepunktet.
f) Tegn grafen til f når x E <0,2>
Oppgave 7
En vektorfunksjon er gitt ved [tex]\vec{r}(t) = [t^{2}-1,t^{2}-2t-3][/tex]
a) Finn ved regning skjæringspunktene mellom grafen til [tex]\vec{r}[/tex] og koordinataksene.
b) Vis ved regning a punktet (3,-3) ligger på grafen til [tex]\vec{r}[/tex].
c) Finn en paramterfremstilling for tangenten i punktet (3,-3).
d) Undersøk om det finnes en verdi av t slik at [tex]\vec{r}[/tex]'[tex](t)[/tex] står normalt på [tex]\vec{r}[/tex]''[tex](t)[/tex].
e) Tegn en skisse av grafen til vektorfunksjonen for t E [-3,4]
Oppgave 8
På deler av denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy med dynamisk programvare.
Vi har gitt en sirkel med sentrum i origo og radius 5 cm. Fra punktet B (13,0) går det to tangenter til sirkelen. Tangeringspunktene er C og D.
a) Regn ut lengden av BC.
Mellom C og D (sirkelbuen mot B) er det et punkt E på sirkelen. Tangenten til sirkelen i E skjærer de to andre tangentene i F og G.
b) Regn ut lengden av EF når punktet E ligger på x-aksen.
c) Regn ut omkretsen av trekanten GBF når E ligger på x-aksen.
Oppgave 9
Gitt en sirkel som går igjennom punktene A(0,0), B(12,0) og C(10,10). Inne i sirkelen er det innskrevet en trekant ABC.
a) Finn [tex]\vec{AC}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex].
b) La M være midtpunktet på BC.
Finn ved regning koordinatene til M.
c) Hvis vi flytter punktet C langs buen CD til punktet D, vil vinkel C være uendret. Forklar dette.
d)
1) Finn vinkel C ved regning.
2) Finn vinkel ASB.
e) La l være midtnormalen til linjestykket BC.
1) Vis ved regning at [5,1] er en retningsvektor for l.
2) Finn en parameterfremstilling for l.
f) Finn koordinatene til S.
g) Finn ved regning radien i sirkelen.
Lykke til!