Konvergering/divergering

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Gjest

Hva vil det si at en rekke konvergerer eller divergerer?
Gjest

Og hva er forskjellen på følge og rekke?
mathvrak
Maskinmester
Maskinmester
Innlegg: 420
Registrert: 18/04-2005 00:00

Hvis jeg ikke husker helt feil, skal kontrollere dette:

tallfølge er en serie med tall, gjerne uendelig mange, hvor neste tall følger av det forrige. Da har du hvorfor det heter "følge". Feks tallfølgen: a[sub]n[/sub]={3,9,27,...} er en serie med tall hvor neste tall er forrige opphøyet i andre. Vi kan referere til et tall i tallfølgen, a, ved å skrive a[sub]i[/sub], hvor i er indeks og forteller hvor i tallfølgen vi skal dra ut et tall. Feks i tallfølgen over, vil det andre tallet i følgen kunne beskrives som a[sub]2[/sub]=9 . og tredje tallet i tallfølgen beskrives som a[sub]3[/sub]=27.

Denne tallfølgen er uendelig lang og vi kan beskrive den på en mer bekvemmelig måte. Siden a[sub]1[/sub]=3, a[sub]2[/sub]=9=3*3=3[sup]2[/sup] og a[sub]3[/sub]=27 = 9*3 = 3*3*3 = 3[sup]3[/sup]. Som du ser, så følger indeks potensen i dette eksempelet. Det betyr at indeks og potens er nå det samme. Da kan vi beskrive hele denne tallfølgen som a[sub]n[/sub]=3[sup]n[/sup] . (hvor en må også oppgi at n er alle heltall fra 1 til uendelig (n=0 ville ikke gi riktig verdi) (en skal stort sett allitd oppgi hva alle bokstaver er)

En rekke er en sum av tall fra tallfølgen. Dette er en uendelig rekke:

a1 + a2 + a3 + a4 + ...

a1, a2, a3 osv er tall fra tallfølgen, i og med at de er summert, har vi en såkalt rekke. Rekken over kan vi skrive enklere med sigma tegnet.

[sigma][/sigma]a[sub]n[/sub]
eller med tallfølgen i eksempelet over
[sigma][/sigma]3[sup]n[/sup], hvor n går fra 1 til uendelig. Behøver ikke gå til uendelig, men da er det en endelig rekke.

Nå som du vet at en rekke er en sum av tall fra tallfølger, så kan du spørre deg selv hva skjer med tallene langt ut i tallfølgen ? Vil tallfølgen gå mot null når n-> uendelig? Hvis nei, da vil summen øke og øke ettersom vi sumerer fler og flere tall fra tallfølge som aldri går til null. (rekken/summen divergerer)

Hvis tallfølgen går mot null når n-> uendelig, KAN kanskje rekken konvergere (gå mot et tall). Å konvergere betyr det samme som å stabilisere seg på et nivå. Så med andre ord, hvis en uendelig rekke konvergere, så får du en tallverdi som svar. Hvis ikke går enten summen mot +-uendelig og da sier vi at rekken divergerer som isted. Det kan også hende at talleverdien vil stabilisere seg på to nivåre, for eksempel veksle mellom +2 og -2 hele tiden hver gang n øker med 1. Da sier vi også at rekken divergerer fordi summen aldri stabiliserer seg (ikke konvergerer).

Rekke følge å lære seg dette.
1. Tallfølger, finne tallfølger, sette opp osv..
2. Rekker. Sette opp rekker.
3. Sjekke konvergens og divergens av rekker, finne
løsning for de uendelige rekkene som konvergerer.

Ps. Endelige rekker har jo selvfølgelig ender jo selvf på en tallverdi.
Svar