induksjon R2

[yeli]

hjelp med denne oppg pls!!!

vis ved induksjon at
4^(n)-1
er delelig med 3 for alle hele talla n>1

[Gommle]

Hypotese: [tex]4^n-1[/tex] kan skrives på formen [tex]3m[/tex], der m er et heltall.

Tester for 1:
4-1 = 3. Som er delelig på tre.

Antar at det stemmer for n=k:
[tex]4^k-1[/tex] kan skrives på formen [tex]3m[/tex].

Prøver med n=k+1:
[tex]4^{k+1}-1 = 4^k\cdot 4-1[/tex]

Hvis vi vet at [tex]4^k-1[/tex] er delelig på 3, må også [tex]4^k\cdot 4-4[/tex] være delelig på 3.

[tex]4^k\cdot 4-1-3+3 = 4^k\cdot 4-4+3[/tex]

[tex]4^k\cdot 4-4[/tex] er delelig på 3, og 3 er delelig på 3. Siden alle leddene er delelig på 3, er da summen delelig på 3.

Ved induksjon følger det at dette stemmer for alle [tex]n\ge 1[/tex]

[yeli]

takk for hjelpen.. . skal prøve med andre oppg for å se om eg har forstått det.

[Realist1]

Hvis vi vet at [tex]4^k-1[/tex] er delelig på 3, må også [tex]4^k\cdot 4-4[/tex] være delelig på 3.

Kan du forklare den? Jeg ser ikke hvorfor.

[FredrikM]

Hvis vi vet at [tex]4^k-1[/tex] er delelig på 3, må også [tex]4^k\cdot 4-4[/tex] være delelig på 3.

Kan du forklare den? Jeg ser ikke hvorfor.

Fordi [tex]4^k\cdot 4-4=4(4^k-1)[/tex]

[Erikj]

halla

knoter med noe av det samme:

vis ved induksjon at
n^3 - 4n + 6
er delelig med 3 for alle naturlige tall, n >= 0

sånn gjør jeg det:

n = 1 blir 3/3 som er ok
da antas at k^3 - 4k + 6 også er delelig med 3

(k + 1)^3 - 4(k + 1) + 6
blir
k^3 + 3k^2 - k + 3

skal jeg her gjøre som du gjorde?:
(k^3 + 3k^2 - k + 3) - (k^3 - 4k + 6) + (k^3 - 4k + 6)
som blir
(3k^2 + 3k - 3) + (k^3 - 4k + 6)

er dette riktig måte å bevise det på?

[Gommle]

Du har k^3 +3k^2 - k + 3, men du vet bare noe om deleligheten til k^3 - 4k + 6.

Derfor skriver jeg om til:

(k^3 - 4k + 6) + (3k^2 + 3k - 3)

Og da blir det tydelig at påstanden stemmer.

[Nebuchadnezzar]

Kan man gjøre det slik og ? Venter på å få hendene mine på en R1 eksamen, slik jeg kan få sjekket det.

------------------------------------------------------

[tex] 4^n - 1 = 2^{2n} - 1 = \left( {2^n } \right)^2 - 1 = \left( {2^n - 1} \right)\left( {2^n + 1} \right) [/tex]

[tex] 2^n {\rm{ }}vil{\rm{ }}aldri{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3{\rm{ }}fordi{\rm{ }}2^n {\rm{ }}best{\aa}r{\rm{ }}kunn{\rm{ }}av{\rm{ }}faktorer{\rm{ }}av{\rm{ }}2 [/tex]

[tex] 2^n {\rm{ }}vil{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}et{\rm{ }}partall [/tex]

[tex] 2^n + 1{\rm{ }}og{\rm{ }}2^n - 1{\rm{ }}vil{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}to{\rm{ }}p{\aa}f{\o}\lg ende{\rm{ }}od\det all [/tex]

[tex] Blant{\rm{ }}3{\rm{ p{\aa}f{\o}lgende }}tall,{\rm{ }}vil{\rm{ }}et{\rm{ }}av{\rm{ }}de{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3 [/tex]

[tex] 2^n - 1,2^n ,2^n + 1{\rm{ }}er{\rm{ }}tre{\rm{ p{\aa}f{\o}lgende }}tall{\rm{ }} [/tex]

[tex] Dermed{\rm{ }}s{\aa}{\rm{ }}vil{\rm{ }}4^n - 1{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3 [/tex]

[wingeer]

Jeg ser ingen feil i argumentasjonen, hvertfall.

[Gustav]

Kan man gjøre det slik og ? Venter på å få hendene mine på en R1 eksamen, slik jeg kan få sjekket det.

------------------------------------------------------

[tex] 4^n - 1 = 2^{2n} - 1 = \left( {2^n } \right)^2 - 1 = \left( {2^n - 1} \right)\left( {2^n + 1} \right) [/tex]

[tex] 2^n {\rm{ }}vil{\rm{ }}aldri{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3{\rm{ }}fordi{\rm{ }}2^n {\rm{ }}best{\aa}r{\rm{ }}kunn{\rm{ }}av{\rm{ }}faktorer{\rm{ }}av{\rm{ }}2 [/tex]

[tex] 2^n {\rm{ }}vil{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}et{\rm{ }}partall [/tex]

[tex] 2^n + 1{\rm{ }}og{\rm{ }}2^n - 1{\rm{ }}vil{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}to{\rm{ }}p{\aa}f{\o}\lg ende{\rm{ }}od\det all [/tex]

[tex] Blant{\rm{ }}3{\rm{ p{\aa}f{\o}lgende }}tall,{\rm{ }}vil{\rm{ }}et{\rm{ }}av{\rm{ }}de{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3 [/tex]

[tex] 2^n - 1,2^n ,2^n + 1{\rm{ }}er{\rm{ }}tre{\rm{ p{\aa}f{\o}lgende }}tall{\rm{ }} [/tex]

[tex] Dermed{\rm{ }}s{\aa}{\rm{ }}vil{\rm{ }}4^n - 1{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3 [/tex]

Poenget her var vel at man skulle bruke induksjon til å vise dette.

[Nebuchadnezzar]

Selvfølgelig, var bare at jeg fikk høre at denne oppgaven var gitt på en R1 eksamen. Og skulle løses uten induksjon, så da lurte jeg på hvordan det skulle gjøres, virker som jeg fikk det til.
Takk

[RKT]

Wow, vi fikk den på eksamen i dag!