matematikk.net

[symbol:integral] e^x * (e^x + 2)^-2 dx

kan e^x ganges inn i parantesen før jeg begynner?
har ikke prøvd med det, men prøvde med delvis integrasjon
der
u = e^x
u' = e^x
v' = (e^x + 2)^-2
v = -e^x * (e^x + 2)^-1

u * v - [symbol:integral] u' * v dx

- e^2x * (e^x + 2)^-1 - [symbol:integral] - e^2x * (e^x + 2)^-1 dx

en ny delvis integrasjon
u = -e^2x
u' = -2e^2x
v' = (e^x + 2)^-1
v = (1/e^x)*ln|e^x + 2|

- e^2x * (e^x + 2)^-1 - (u*v - [symbol:integral] u'*v)
- e^2x * (e^x + 2)^-1 - (-e^x)*ln|e^x + 2| - [symbol:integral] (-2e^x)*ln|e^x + 2|)

det hele blir veldig langt, og jeg mistenker feil

kan noen løse denne?

[tex]\int {e^x \left( {e^x + 2} \right)^{ - 2} dx} {\rm{ }} = {\rm{ }}\int {\frac{{e^x }}{{e^x + 2}}dx} {\rm{ }} = {\rm{ }}\int {1 - \frac{2}{{e^x + 1}}dx} {\rm{ }} = {\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}x - 2\ln |e^x + 1| + C{\rm{ }}}} {\rm{ }}[/tex]


Om ikke jeg har missforstått helt ^^

Og det hadde jeg, her er riktig.

[tex] \int {e^x \left( {e^x + 2} \right)^{ - 2} dx} {\rm{ }} = {\rm{ }}\int {\frac{{e^x }}{{\left( {e^x + 2} \right)^2 }}dx} {\rm{ bruker at }}u = e^x + 2{\rm{ }}og{\rm{ e}}^x = \frac{{du}}{{dx}} \Rightarrow dx = \frac{{du}}{{e^x}} [/tex]

[tex] \int {\frac{{e^x }}{{\left( {e^x + 2} \right)^2 }}dx} {\rm{ }} = {\rm{ }}\int {\frac{{e^x }}{{\left( u \right)^2 }}\frac{{du}}{{e^x }}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\int {\frac{1}{{u^2 }}du} {\rm{ }} = {\rm{ }} - \frac{1}{u} + C{\rm{ }} = {\rm{ }}\underline{\underline { - \frac{1}{{e^x + 2}} + C{\rm{ }}}} [/tex]

[tex]-\frac{1}{e^x+2}[/tex] er svaret i følge Mathematica.

Tips: u=x+2, u'dx = du

1. hvordan gjorde du om utrykket fra e^x/(e^x + 2) til 1 - 2/(e^x + 1) ?
2. når du integrerer 2/(e^x + 1), hvorfor har du ikke brukt kjerneregelen?

svaret i fasit er: -1 / (e^x + 2) + c
oppgave 7.313 i cosinus r2

Greitt integral dette

[tex] \ \int \frac{e^x}{(e^x+2)^2} [/tex]

[tex] \ u= e^x +2 --> u`= e^x [/tex]

[tex] \ \frac{du}{dx} = e^x --> du=dx\cdot e^x [/tex]

[tex] \ \int \frac{1}{u^2}\cdot du [/tex]

[tex] \ \frac{1}{-2+1} u^{-2+1} +C [/tex]

[tex] \ \underline{\underline{-\frac{1}{e^x+2} +C}} [/tex]