matematikk.net

Tjohei, tenkte dette måtte være rett forum å stille spørsmål i:

Jeg har en oppgave i Sinus Matte for forkurs, nærmere bestemt 16.31 b)
Ser ut som følger:

[tex]\int_{0}^{2\pi} \frac{cosx}{(sinx+2)^2} dx[/tex]


Når jeg løser det bestemte integralet får jeg svaret 0 med kalkulator, mens fasit sier 1/6. Er det jeg som har gjort noe galt her, eller er det feil i fasit?
Input i kalkulator:
Y=(cos(x))/(sin(x+2))[sup]2[/sup]


Bruker substitusjon

[tex]u=sinx+2[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=cosx[/tex] Deriverer kjernen med hensyn på x

[tex]du=cosx dx[/tex] Finner et uttrykk for dx

[tex]\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{(sinx+2)^2} cosx dx[/tex] ordner uttrykk

[tex]\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{(u)^2} du[/tex] substituerer med kjernen

[tex]=-u^-1[/tex] integrerer med hensyn på u

[tex]=[\frac{1}{-sinx+2}][/tex] (fant ikke føring for intervall (klammeparantes med super-/subskript) i tex)

[tex]=(\frac{1}{-sin2\pi+2})-(\frac{1}{-sin0+2})[/tex] setter inn grensene i den integrerte

[tex]=(\frac{1}{-sin2\pi+2})+(\frac{1}{sin2}) = 0[/tex] rydder og løser



Har jeg gjort en sedvanlig slurvefeil her, eller er boka nok en gang på villspor i fasit?

skriv integralet som

[tex]\large I=4\int_0^{\pi\over 2}\frac{\cos(x)\,dx}{(\sin(x)+2)^2}[/tex]

blir en del kluss med sinus med [symbol:pi] og 2 [symbol:pi] ,så man manipulerer litt.

I = 1/6
da...

altså:

[tex]\Large\int_2^3\frac{du}{u^2}={1\over 6}[/tex]

Hmm, jeg hadde en følelse av at det var sin(x)+2, og ikke sin(x+2). Synes kanskje de burde skrevet det som
(sin(x)+2)[sup]2[/sup]
heller. Enig?

I tillegg:
Hah, ante meg at jeg hadde gjort det for vanskelig.

Hvordan ser du at du kan skrive det som dette?

[tex]I=4\int_0^{\pi\over 2}\frac{\cos(x)\,dx}{(\sin(x)+2)^2}[/tex]

"Forkorter" du ut grensene og setter dem som en konstant?


Jeg ser forsåvidt hvordan du rydder uttrykket her, men ikke hvor du tar grensene fra?

[tex]\Large\int_2^3\frac{du}{u^2}={1\over6}[/tex]

sin(x) = sinx
bare ulike skrivemåter, avhengig av skjønn
===================

1*(2[symbol:pi]) = ([symbol:pi]/2)*4
ikke sant
===================

u = sin(x) + 2

u(1) = sin(0) +2 = 2

u(2) = sin([symbol:pi]/2) + 2 = 3

såklart, desverre er boka nokså inkonsekvent med føring, så av og til finner man oppgaver der som sin(x) eller sin([symbol:pi]x) og av og til heter det sin x eller sin [symbol:pi]x.

===========================

Den er som sagt grei. Altså faktoriserer du ut, som såklart hva det jeg mente, heh.

===========================

Hvor får du 1 og 2 fra når du setter inn i u(x)?

mulig jeg er jækla treig nå - men dette skjønte jeg ikke, og det er surt når eksamen er på mandag.

bare skilte u'ene, men u(x=0) = 2
og
u(x=[symbol:pi] /2) = 3

OK...?

Ah. jeg så det nå, tusind hjertelig takk

============
Hvordan gikk du fram for å finne ut at det var riktig å faktorisere grensene før du integrerte?
For å formulere meg på en annen måte:
Hvordan skal jeg kunne se at det blir feil å finne det bestemte integralet på den måten jeg gjorde det (altså ved å først finne de ubestemte, for så å sette inn grensene)?

Gerber skrev:Ah. jeg så det nå, tusind hjertelig takk
============
Hvordan gikk du fram for å finne ut at det var riktig å faktorisere grensene før du integrerte?
For å formulere meg på en annen måte:
Hvordan skal jeg kunne se at det blir feil å finne det bestemte integralet på den måten jeg gjorde det (altså ved å først finne de ubestemte, for så å sette inn grensene)?

bra du forstod det nå. jeg prøvde meg fram
eks.
[tex]2\int_0^{\pi} f\,dx[/tex]

gikk heller ikke så bra..., derfor prøvde jeg istedenfor

[tex]4\int_0^{\pi/2} f\,dx[/tex]

som funka...

ah, bollocks. Jeg hater når matte gjøres etter "prøv og feil" metoden. Det gjør det hele så mye mer komplisert når man ikke kan kontinuerlig kontrollere med en fasit, hehe