matematikk.net

Du får oppgitt at lim(h --> 0) sinx/x=1 Bevis at den deriverte til sinx er cosx.

Sett opp formelen for en harmonisk funksjon og redegjør hva vi forstår med en likevktslinje, amplitude og periode, gjerne belyst ved et eksempel.

VIKTIG spørsmål. Hvordan kan vi bestemme ekstremalpunkter og vednepunkter for slike uten å derivere?

Du får oppgitt at lim(h --> 0) sinx/x=1 Bevis at den deriverte til sinx er cosx.

(sin(x))'=lim[sub]h->0[/sub][(sin(x+h)-sin(x))/h] , definisjonen på den deriverte
=lim[sub]h->0[/sub][(sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x))/h] , Trig. identitet. sin(x+h)=sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)
=lim[sub]h->0[/sub][(sin(x)(cos(h)-1)+cos(x)sin(h))/h] , Har satt sin(x) utenfor en parantes.
=lim[sub]h->0[/sub]sin(x)*lim[sub]h->0[/sub][(cos(h)-1)/h]+lim[sub]h->0[/sub]cos(x)*lim[sub]h->0[/sub][sin(h)/h] , har delt opp uttrykket i henhold til reglene for kombinering av grenser.
=sin(x)*0+cos(x)*1 , cos(0)-1=0 samt den oppgitte grensen.
=cos(x) , q.e.d

Sett opp formelen for en harmonisk funksjon og redegjør hva vi forstår med en likevktslinje, amplitude og periode, gjerne belyst ved et eksempel.

Ligningen for enkel harmonisk bevegelse er gitt ved diff.-ligningen
d[sup]2[/sup]y/dt[sup]2[/sup] + w[sup]2[/sup]y=0
Den generelle løsningen til ligningen er
y=Acos(wt) + Bsin(wt) , eller
y=Rcos(w(t-t[sub]0[/sub]))
med sammenhengene
A=Rcos(wt[sub]0[/sub])
B=Rsin(wt[sub]0[/sub])
R[sup]2[/sup]=A[sup]2[/sup]+B[sup]2[/sup]
tan(wt[sub]0[/sub])=B/A

Likevektslinjen er linjen funksjonen oscillerer om. Husker jeg rett dukker dette opp som et konstantledd, b, slik:
y=Rcos(w(t-t[sub]0[/sub])) + b
R er amplituden. Amplituden er avstanden fra likevektslinjen til det maksimale utslaget.
t[sub]0[/sub] er tidsskiftet
wt[sub]0[/sub] er faseskiftet
Perioden T=2[pi][/pi]/w er (tids)intervallet mellom at (f.eks.) massen er i samme posisjon og beveger seg i samme retning. (To posisjoner med samme retningsvektor.)
1/T er frekvensen.
w er den sirkulære frekvensen.

Jeg kommer ikke på et godt eksempel akkurat nå, men du kan jo ta utgangspunkt i et eksempel/oppgave i boken (evt. fysikkboken?) og forandre det litt. Hvis du kan tilpasse eksemplet til et fysisk problem skulle det sikkert bli bra.

VIKTIG spørsmål. Hvordan kan vi bestemme ekstremalpunkter og vednepunkter for slike uten å derivere?

Ekstremalpkt:
y-koordinatene til max.-pkt. er gitt ved y-verdien til likevektslinjen + amplitude. x-verdiene finnes ved å løse systemet y=y[sub]max[/sub].
For min.-pkt blir det likevektslinjen - amplituden for y-koordinatene. x-koordinatene finnes som for max.
Disse y-verdiene gjentas for hver periode, altså x+nT, hvor n er et heltall. Evt. x-koordinatene til max + T/2

Vendepunkt:
y-koordinatene er de samme som y-verdien til likevektslinjen. x-verdiene finnes ved å løse systemet y=y[sub]likevektslinje[/sub]. Disse gjentas for hver halve periode. Evt. er ett av x-koordinatene gitt ved x-koordinatene til max (el. min) + T/4. Deretter for hver halve periode.

takk for hjelpa