Integral

[Nebuchadnezzar]

Denne forklarer vel det ganske greit

[Realist1]

Forresten;
som en del av min muntlige eksamen, R2, i går, ble jeg bedt om å forklare hva cosinus egentlig er, vha. enhetssirkelen.

Du som har så fin tegning, Nebuchadnezzar, kan ikke du ta på deg oppgaven å forklare litt flere identiteter?

Kan forresten fortelle litt mer om muntlig eksamen min hvis noen er interessert. Var greie oppgaver.

Jeg forsøkte forresten å fortsette integralet, på Janhaas måte.
Vi hadde:

[tex]I \ = \ \int \frac{1}{(1+u)(1-u)} \rm{d}u[/tex]

Dette blir, ved delbrøkoppspalting:
[tex]I \ = \ \int \left( \frac{1}{2+2u} + \frac{1}{2-2u}\right) \rm{d}u = \ln \left|2u+2\right| + \ln \left|2-2u\right| + \rm{C} \\ \ \\ I \ = \ \ln \left|2 \sin (x) + 2\right| + \ln \left|2-2\sin (x)\right| + \rm{C}[/tex]

Er det noe galt her?
Bortsett fra at jeg vel kan sløyfe absoluttverditegnet i svaret, siden uttrykkene aldri vil være negative.
Edit: Nja, vi kan vel leke oss ganske mye med svaret her ser jeg. Skal leke meg litt, jeg.

Edit2:
Har jeg gjort noe galt når jeg finner svaret til å bli [tex]\ln \left(4\cos ^2(x)\right) + \rm{C}[/tex]?
Edit3:
Tydeligvis, siden WolframAlpha sier at den deriverte av dette er -2tan(x). Her er fremgangsmåten min:

[tex]I \ = \ \ln \left( \left(2+2\sin (x)\right)\left(2-2\sin (x)\right)\right) \\ I \ = \ \ln\left(4\cdot (1+\sin (x))(1-\sin (x))\right) = \ln\left(4\cdot \left(1-\sin ^2(x)\right)\right) = \underline{\ln\left(4\cos ^2(x)\right)}[/tex]

[96xy]

Eg fekk ikkje heilt det same, dette er mitt forslag.

[tex] \ \frac{1}{2}ln(\frac{sinx+1}{sinx-1}) +C [/tex]

[Realist1]

Dette blir, ved delbrøkoppspalting:
[tex]I \ = \ \int \left( \frac{1}{2+2u} + \frac{1}{2-2u}\right) \rm{d}u = \ln \left|2u+2\right| + \ln \left|2-2u\right| + \rm{C}[/tex]

Det er selvfølgelig her jeg har gjort feil.

Integralet av 1/(2+2u) er selvsagt ikke ln|2+2u|, men halvparten. Typisk meg!

[Nebuchadnezzar]

JEg klarte det :D:D


[tex] = \frac{1}{2}\,\ln \left| {1 + u} \right| - \frac{1}{2}\ln \left| {1 - u} \right| [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\,\left( {\ln \left| {1 + \sin \left( x \right)} \right| - \ln \left| {1 - \sin \left( x \right)} \right|} \right) [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\,\left( {\ln \left| {\frac{{1 + \sin \left( x \right)}}{{1 - \sin \left( x \right)}}} \right|} \right) [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\,\left( {\ln \left| {\frac{{1 + \sin \left( x \right)}}{{1 - \sin \left( x \right)}} \cdot \frac{{\left( {1 + \sin \left( x \right)} \right)}}{{\left( {1 + \sin \left( x \right)} \right)}}} \right|} \right) [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\ln \left| {\left( {\frac{{1 + \sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)^2 } \right| [/tex]

[tex] = \ln \left| {\frac{{1 + \sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right| [/tex]

[tex] = \ln \left| {\left( {1 + \sin \left( x \right)} \right)\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}} \right| [/tex]

[tex] = \ln \left| {\left( {1 + \sin \left( x \right)} \right)\sec \left( x \right)} \right| [/tex]

[tex] = \ln \left| {\sec \left( x \right) + \sin \left( x \right)\sec \left( x \right)} \right| [/tex]

[tex] = \ln \left| {\sec \left( x \right) + \sin \left( x \right)\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}} \right| [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ }} = \ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right|{\rm{ }}}} [/tex]

[96xy]

Etter å ha lest gjennom alt ein gong til, trur eg at eg byrjar å forstå litt meir. Eg trur eg forstår korleis Nebuchadnezzar går fram i si løysing. Eg skjønar no kvifor det finst to svar på dette integralet. Geogebra gav nemleg Nebuchadnezzar sitt, medan maxima gjev det svaret eg fekk til slutt. Veldig interessant og kjekt å forstå korleis geogebra kom fram til sitt svar og takk

[Nebuchadnezzar]

La oss se om du klarer denne da, er en fin utfordring av omskrivning av trigonometriske uttrykk ^^

Vis at den deriverte av
[tex]\tan(x)+\sec(x)[/tex] er lik [tex]\tan(x)\sec(x)+\sec^2(x)[/tex]

[Justin Sane]

La oss se om du klarer denne da, er en fin utfordring av omskrivning av trigonometriske uttrykk ^^

Vis at den deriverte av
[tex]\tan(x)+\sec(x)[/tex] er lik [tex]\tan(x)\sec(x)+\sec^2(x)[/tex]

Utifra den, må vel dette gå ann?

[tex]u = \tan x + \sec x[/tex]

[tex]\frac{{du}}{{dx}} = \tan x\sec x + {\sec ^2}x = (\tan x + \sec x)\sec x[/tex]

[tex]\frac{{du}}{{dx}} = u\sec x\[/tex]

[tex]\frac{{du}}{u} = \sec xdx[/tex]

[tex]\int {\sec xdx} = \int {\frac{1}{u}du} [/tex]

[tex]\int {\sec xdx = \ln |u| + C} [/tex]

[tex]\underline{\underline {\int {\sec xdx} = \ln |\sec x + \tan x| + C}} [/tex]

[96xy]

[tex] \ (tanx +sec(x))`=(tanx)`+ (sec(x))`[/tex]

[tex] \ = \frac{1}{cos^2x}+\frac{(1`\cdot cos(x) -1\cdot (cos(x))`}{cos^2x} [/tex]

[tex] \ = sec^2(x) + \frac{sinx}{cosx}\cdot sec(x) [/tex]

[tex] \ = \underline{\underline{tanx\cdot sec(x) + sec^2(x)}} [/tex]