Min feil, beklager - jeg la ikke merke til B i telleren.
Men det finnes en måte å isolere B på. La oss først gjøre følgende trinn:
[tex]Y(1+\frac{e^{-kBx}}{C})=B[/tex]
[tex]\frac{Y}{C}e^{-kBx} = B-Y[/tex]
[tex]\frac{Y}{C}e^{-kx(B-Y)-kxY} = B-Y[/tex]
[tex]e^{-kxY}\frac{Y}{C}e^{-kx(B-Y)} = B-Y[/tex]
[tex]kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}e^{-kx(B-Y)} = kx(B-Y)[/tex]
[tex]kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}=kx(B-Y)e^{kx(B-Y)}[/tex]
Nå bruker vi lambert-W-funksjonen [tex]w(x)[/tex]. Les mer om den her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W
Den er definert som invers-funksjonen til [tex]f(t)=te^t[/tex], dvs at [tex]w(f(t))=w(te^t)=t[/tex] (Den kan gi to forskjellige verdier, men dette står nærmere forklart i artikkelen)
Dermed får vi følgende:
[tex]w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)=w\left( kx(B-Y)e^{kx(B-Y)} \right)[/tex]
I dette tilfellet er [tex]t=kx(B-Y)[/tex], og høyresiden reduseres:
[tex]w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)=kx(B-Y)[/tex]
Rensker opp:
[tex]\frac{w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)}{kx}=(B-Y)[/tex]
[tex]B = \frac{w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)}{kx}+Y[/tex]
Lambert-W-funksjonen er ikke injektiv, så den kan ta flere verdier. Det betyr at vi kan få to løsninger for B. Derfor må vi bestemme oss for om vi ønsker at den skal returnere verdier større eller mindre enn -1 hvis den kan ta flere verdier. Jeg anbefaler at du leser artikkelen for å få en bedre forklaring på funksjonen.
Likningen kan ikke løses i hva vi kaller 'elementære' funksjoner som sin(x), ln(x), e^x etc..., så vi må ty til en løsning på denne formen. Slike likninger opptrer så ofte at det er nyttig å ha en slik funksjon.
Trikset man ofte bruker med slike likninger er å få dem på formen
[tex]b=axe^{ax}[/tex] (for a og b som ikke avhenger av x) når vi skal løse for x.