matematikk.net

Læreren pekte ut en formodentlig vanskelig oppgave, og den var rangert som vanskelig av boken også.

a) Ti jenter skal plasseres på to rom, hvert med fire senger, og ett rom med to senger. Hvor mange muligheter har vi?
Denne skulle også være vanskelig, men det var den egentlig ikke.
[tex]10C4 \times 6C4 \times 2C2[/tex]
Svaret blir 3150 muligheter.

b) Ti jenter skal plasseres på tre rom, hvert med fire senger. Hvor mange muligheter har vi?
Her sitter jeg fast. De to første rommene er det samme som de to første på forrige oppgave. Det siste rommet, hvor du skal finne antall kombinasjoner av to jenter på fire senger, tenker jeg med én gang nPr. Det vil si: [tex]3150 \times 4P2 = 37800[/tex].
Det er tydeligvis ikke i samsvar med fasiten, som angir svaret som 22 050. For å få det, må jeg multiplisere 3150 med 7. 4P2 er jo det samme som 4*3, men bytter en multiplikasjonsfortegnet med et addisjonsfortegn, får en 4+3, som er 7, ergo tallet jeg leter etter. Men et addisjonsfortegn i denne sammenhengen gir ikke mening.
Jeg har lest gjennom det tilsvarende delkapittelet til denne oppgaven, bare for å se om de har noe eksempel på en annen måte å gjøre det på, men det har de ikke.
Multiplikasjonsfortegn er det eneste som passer i denne sammenhengen, men 7 er et primtall og kan dermed ikke være et produkt hvor faktorene er hele tall.

Alt sammen er en selvmotsigende røre, så jeg ville satt pris på intelligente innsyn.

Er det ingen som greier å løse oppgaven?

Tenk på hva slags kombinasjoner du har

4-4-2, 4-2-4, 2-4-4, 3-3-4, 3-4-3, 4-3-3

Ah, selvfølgelig. Det at ti jenter skal plasseres på tre rom, hvert med fire senger, betyr jo nødvendigvis ikke at de velger å fylle ut to av rommene først. Det var litt trangsynt av meg.

Men det vil vel isåfall gjøre rommene irrelevant? 12P10 virket logisk for meg, men det blir 2.4*10^8, noe som er langt større enn svaret jeg er ute etter.

Arctagon skrev:Ah, selvfølgelig. Det at ti jenter skal plasseres på tre rom, hvert med fire senger, betyr jo nødvendigvis ikke at de velger å fylle ut to av rommene først. Det var litt trangsynt av meg.

Men det vil vel isåfall gjøre rommene irrelevant? 12P10 virket logisk for meg, men det blir 2.4*10^8, noe som er langt større enn svaret jeg er ute etter.

[tex]((10C4\cdot6C4\cdot2C2)+(10C3\cdot7C3\cdot4C4))\cdot 3=22050[/tex]

Ser du hvorfor?

Hmm... Jeg henger ikke helt med på den. Den første parentesen er lik fremgangsmåten i a-oppgaven, men hvorfor den brukes igjen her, forstår jeg ikke helt. Den andre parentesen ser ut som å være en av måtene jentene kan plasseres på, men hvorfor akkurat den måten, forstår jeg heller ikke helt.

Tenk på det sånn. Det første leddet i parentesen er antallet måter du kan sette fire jenter i det første huset, fire i det andre og to i de tredje. Dette er selvfølgelig like mange som antallet måter du kan sette fire i det første, to i det andre og fire i det tredje og antallet måter du kan sette dem 2-4-4 på, så det ganges med tre. Tilsvarende er det andre leddet antallet måter å fordele dem 3-3-4 på, som også ganges med 3 for å få med mulighetene 3-4-3 og 4-3-3.

Det gikk opp for meg bare av å ha lest litt av posten din. Det var en skikkelig sær oppgave, må jeg si.

Tusen takk for hjelpen til dere begge. Dette har jeg lært av. :3