Trigonometrioppgave

[Annika]

Trenger hjelp med denne oppgaven!:)


Vi har en rett kjegle som er innskrevet i en kule med radius 2.

a) Forklar at høyden i kjegla er 4cos[sup]2[/sup]x, der vinkel x er vist på figuren.

b) Vis at volumet av kjegla er gitt ved V=[tex]\frac {64pi}{3}[/tex] cos[sup]4[/sup]x sin[sup]2[/sup]x

c) Finn det største volumet kjegla kan ha.

(Det gikk ikke å sette inn [symbol:pi] i formelen, så jeg skrev pi i stedet..)

[Nebuchadnezzar]

Hva har du prøvd selv, ser du at diameteren til kula danner hypotenusen i en trekant. Klarer du å se hvordan du kan bruke dette ?

[Annika]

Ja, selvfølgelig. Takk for hjelp!

Men videre i oppgaven skal jeg bruke lommeregner til å finne det største volumet kjegla kan ha. Hvordan skal jeg gjøre dette? Finne den største vinkelen x på en eller annen måte?

Jeg skal også bruke derivasjon til å bestemme ved regning den verdien av x som gir kjegla størst volum. Hvordan skal jeg gå frem?

[Karl_Erik]

Hvis du bruker uttrykket du fikk for volumet til kjegla gitt x, har du funnet volumet som en funksjon av x. Du vil finne ut når denne funksjonen har et toppunkt. Hvordan gjør du det?

[Annika]

Derivere og sette dette uttrykket lik 0?
Kan hende jeg gjorde noe feil, men når jeg prøvde å derivere brukte jeg kjerneregelen og fikk [tex]\frac{-256pi}{3}[/tex] * cos[sup]3[/sup]x * sin x.

Dette ser ikke riktig ut.

[Lord X]

[tex]V(x)=\frac {64\pi}{3}\cdot cos^{4}(x)\cdot sin^{2}(x) [/tex]

Deriverer:

[tex]V^{\prime}(x)=\frac{64\pi}{3}[4cos^{3}(x)(-sin(x))\cdot sin^{2}(x)+cos^{4}(x)\cdot 2sin(x)cos(x)]=\frac{64\pi}{3}[-4cos^{3}(x)sin^{3}(x)+2cos^{5}(x)sin(x)]=\frac{128\pi}{3}\cdot cos^{3}(x)sin(x)[cos^{2}(x)-2sin^{2}(x)] [/tex]

Sett [tex]V^{\prime}(x)=0[/tex]. Vi ser at [tex]cos^{3}(x)=0[/tex] eller [tex]sin(x)=0[/tex] begge gir at [tex]V(x)=0[/tex]. Dvs. vi får:

[tex]cos^{2}(x)=2sin^{2}(x)[/tex]

[tex]tan^{2}(x)=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]tan(x)=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}}[/tex]

osv.

Det var det jeg kom på i farten; med forbehold om feil! (fant ut at klokka var litt mye nå.. )

[Karl_Erik]

Derivere og sette dette uttrykket lik 0?
Kan hende jeg gjorde noe feil, men når jeg prøvde å derivere brukte jeg kjerneregelen og fikk [tex]\frac{-256pi}{3}[/tex] * cos[sup]3[/sup]x * sin x.

Dette ser ikke riktig ut.

Dette blir feil, ja. Her har du derivert et produkt ved å derivere faktorene hver for seg - du må egentlig bruke produktregelen som Lord X har gjort i sin løsning.

[Erikj]

Spørsmålet/oppgaven var jo bare å finne det største mulige volumet for kjegla, som man får ved å sette cos x = 1 og sin x = 1. Største volum blir
64 [symbol:pi] /3

[Karl_Erik]

Spørsmålet/oppgaven var jo bare å finne det største mulige volumet for kjegla, som man får ved å sette cos x = 1 og sin x = 1. Største volum blir
64 [symbol:pi] /3

Det er dessverre umulig, for [tex]\cos^2 x + \sin ^2 x = 1[/tex] for alle x. Det du dog kan gjøre er å legge merke til at det holder å maksimere [tex]\cos^2 x \sin x[/tex] og dermed slippe unna med marginalt enklere derivasjoner.