matematikk.net

Når vi skriver symbolet n står det for at det gjelder hvilket som helst heltall.

1 + 2+ 3 +... + n står for summen av de n første tallene.

Hvis du velger n = 8 så mener du summen av de 8 første tallene, altså:
1+2+3+4+5+6+7+8

Ved å erstatte n med 8 i formelen 1/2* n(n+1) får du summen av de 8 første tallene.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 er i følge formelen lik 1/2 * 8(8+1) = 36

Vi skriver at 1 + 2 + 3 + ......... + n = 1/2* n(n+1) for å demonstrere at formelen gjelder for alle heltall.

Hva er f.eks. summen av de 30 første tallene?

Sånn forklart finito ferdig. Følte min metode var pittelitt enklere, og jeg forklarte formelen for summen av de naturlige tallene. ^^

Kudos til deg og som klarte det. Har selv ikke enda hatt om rekker og følger så dette var jo interessant å løse.

=)

Nebbi:

Jeg får det samme dersom jeg trekker sammen dette uttrykket:

1/2* ( n(n+1)/2) - 1/6* n(n+1)(2n+1)) = n(n-1)(n+1)(3n+2) * 1/24

Alt dette hadde vært så mye lettere å forklare med blyant og ark! Litt av utfordringen ved et forum:(

Og tilbake til hvorfor tallene skal summeres fra 1-100.

Vi tar et lavere eksempel:

Vi tenker oss at vi ganger talle opp til 4 sammen:

1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 = 1(1+2+3+4)

2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4 = 2(1+2+3+4)

3*1 + 3*2 + 3*3 + 3*4 = 3(1+2+3+4)

4*1 + 4*2 + 4*3 + 4*4 = 4(1+2+3+4)

Til sammen blir dette 1(1+2+3+4) + 2(1+2+3+4) + 3(1+2+3+4) + 4(1+2+3+4) = (1+2+3+4)(1+2+3+4) = 100


Men nå har vi talt med 1*1, 2*2, 3*3, 4*4 som ikke skulle være med i svaret vårt.

Derfor må vi trekke vekk 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2

Tilfeldigvis vet vi ved å bruke formel 2 at 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1/6 * 4(4+1)(2*4+1) = 30

Dette trekker vi fra 100 og får 100 - 30 = 70

1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4

2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4

3*1 + 3*2 + 3*3 + 3*4

4*1 + 4*2 + 4*3 + 4*4

Jeg har streket under de leddene vi har fjernet fra summen. Vi ser at hvert av de andre leddene står to ganger (1*2 er det samme som 2*1 osv). Derfor deler vi på 2.

70/2 = 35

Da står vi igjen med summen av de uten strek under

1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4

2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4

3*1 + 3*2 + 3*3 + 3*4

4*1 + 4*2 + 4*3 + 4*4

Som var den summen vi skulle finne!

Halvparten av summen av de naturlige tallene minus kvadratallene?

Blir jo helt sikkert det samme som mitt, men jeg forstår ikke helt hvorfor?

"Det virker som vi tar summen av forrige ledd, og legger til summen av gangetabellen... "

dette mønsteret klarer jeg ikke å se

Nebuchadnezzar skrev:Halvparten av summen av de naturlige tallene minus kvadratallene?

Blir jo helt sikkert det samme som mitt, men jeg forstår ikke helt hvorfor?

Se forklaringen min med de 4 første tallene og se om du er med på tanken:)

EDIT: Mente

( 1/2* n(n+1) ) ^2

Tror jeg har fargelagt det som er nytt for hver "rekke"

t(1) = 0
t(2) = 1*2
t(3) = 1*2 + 1*3 + 2*3
t(4) = 1*2 + 1*3 + 2*3 + 1*4 + 2*4 + 3*4

Ser du at det røde er begynnelsen på 3 gangen, og at det grønne er begynnelsen på 4 gangen ?
Det som ikke er fargelagt er jo bare tall som vi har fra før. altså vi legger til forrige ledd.

Hvor har du fått oppgaven forresten!?

1*2
1*3
1*4
1*5
1*6
-----
2*3
2*4
2*5
2*6
-----
3*4
3*5
3*6
-----
4*5
4*6
-----
5*6

jeg fjernet alle tall som ikke betyr noe. det er først nå jeg ser ett mønster.
i hver av kolonnene skal den siste dividenten i det første gangestykket være en høyere enn den første dividenten, slik at man får rensket bort alle tallene som ikke er til nytte.

klarer noen å hoste opp en formel for dette? for jeg skjønner desverre ingenting av dette fagspråket dere bruker

Fibonacci92 skrev:Hvor har du fått oppgaven forresten!?

jeg fikk den av en rar mann jeg ble kjent med nylig. han er så matteklok at han tilbringer mye av tiden sin på psykiatrisk avdeling

han fortalte meg at han skulle løse denne oppgaven og lurte på om jeg også ville prøve. (jeg håper ikke det var denne oppgaven som fikk han innlagt, for da er jeg ille ute haha )

Formelen blir som Nebbi sier:

Sett inn det tallet du ønsker i stedet for k i formelen:


k(k+1)(k-1)(3k+2) * 1/24

Hvis du f.eks. vil ha fra 1 til 47 setter du inn 47:

k(k+1)(k-1)(3k+2) * 1/24 = 47(47+1)(47-1)(3*47+2) * 1/24 = 1357356

Fibonacci92 skrev:Formelen blir som Nebbi sier:

Sett inn det tallet du ønsker i stedet for k i formelen:


k(k+1)(k-1)(3k+2) * 1/24

Hvis du f.eks. vil ha fra 1 til 47 setter du inn 47:

k(k+1)(k-1)(3k+2) * 1/24 = 47(47+1)(47-1)(3*47+2) * 1/24 = 1357356

jeg satte inn tallet 6 og fikk 171 til svar.

men når jeg regnet det ut manuelt på papiret fikk jeg 175

edit: når jeg sier manuelt så mener jeg trinnvis slik som jeg viste i den forrige posten

Hvis du setter inn 6 skal du få 175 til svar:) Prøv igjen;)

Fibonacci92 skrev:Hvis du setter inn 6 skal du få 175 til svar:) Prøv igjen;)

1*2=2
1*3=3
1*4=4
1*5=5
1*6=6
2*3=6
2*4=8
2*5=10
2*6=12
3*4=12
3*5=15
3*6=18
4*5=20
4*6=24
5*6=30
---------------
=175

jeg trykte 8 isteden for 12 første gangen.. min feil
tusen takk for hjelpen
tusen takk til alle dere andre også..