Invers funksjon

[Gjest]

Hvis vi har følgende funksjon:

y = 2x

så kan den inverse funksjonen finnes på måten nedenfor:

y = 2x
x = 2y (*** x og y bytter plass; løser så for y)
y = x / 2

y[sup]-1[/sup] = x / 2

Dette funker, men jeg skjønner ikke helt hvorfor. Altså: Selve logikken bak. Hvordan skal man tenke? Kan noen forklare dette i ord?

[Gjest]

I tillegg til y=2x kan vi si at du også har linjen y=x. Denne vil gå ut fra origo med en vinkel på 45 grader. Hvis vi speiler y=2x om denne linjen finner vi grafen til den inverse funksjonen.

Vi kan tenke oss at vi speiler y=2x over linjen y=x ved å "holde fast" i y=x og rotere aksene slik at x-aksen og y-aksen bytter plass. Da har vi funnet grafen til den inverse funksjonen. Denne grafen har de tidligere y-verdiene langs den horisontale aksen og x-verdiene langs den vertikale. Vi kan si vi har fått en funksjon med y som den variable, og x som funksjonsverdien.

Siden vi bare flippet aksene, er forholdet mellom y og x-verdiene fortsatt det samme. Vi kan derfor ta utgangspunkt i ligningen

y=2x

Den nye grafen har y som den uavhengige variablen og x som den avhengige, så vi ønsker å få x på venstre side.

x=(1/2)y

Til slutt har det seg slik at vi gjerne bruker y på den avhengige variabelen, og x på den uavhengige (eller y på den vertikale aksen og x på den horisontale).

y[sup]1[/sup]=(1/2)x

Elendig forklart, men det er ca. sånn jeg tenker på inverse funksjoner.

[mathvrak]

Hei. Et par ting. Når en skriver

y=2x
x=2y

2y-y = 2x - x

y=x

noe som ikke stemmer hvis du ønsker å tegne to grafer, de ligger jo ikke på linjen x=y ? Men jeg forstår hva du mener. y=2x representerer en linje og x=2y representerer en linje nummer to i et xy-akse system. Men hvis y^-1 er x/2, er ikke y^-1 = 1/y ?? altså 1/y må være 1/2x ?

En annen måte og skrive dette på kunne vært f(x)=2x for første linje, og g(x)=x/2 for understreke at det er to grafer en ønsker. Kanskje ikke dødens viktig. (Hvis du har speiling kan du tegne opp linjen x=y og hvis du nå tar en linje som skjærer vinkelrett på denne, vil de to speilede grafene være like langt ut på begge sider.

Så for å oppsumere. Det du gjor først var å bytte x og y, det kalles speiling om linjen x=y. Så ordner du om så du får x=2y på formen y=x/2 . Men du kan ikke kalle denne for y^=(-1).


Jeg tolker inverse funksjoner på denne måten:
y sin inverse funksjon er 1/y. Enkelt og greit, og ikke som speiling om linjen x=y. Feil ?

Kode: Velg alt

y
 |         /<- y=2x  *
 |        /        *
 |       / \     * <- y=x
 |      /   \  *          
 |     /     *           x
 |    /    *  \     x <-- y=x/2
 |   /   *     \x
 |  /  *    x
 | / *  x
 |/*x
  -----------------------------> x

[Gjest]

...

Vi kan tenke oss at vi speiler y=2x over linjen y=x ved å "holde fast" i y=x og rotere aksene slik at x-aksen og y-aksen bytter plass. Da har vi funnet grafen til den inverse funksjonen.

Dette var interessant, og jeg ser at det blir riktig. Tror jeg. I hvert fall for disse to funksjonene. Men med disse derimot:

y[sub]a[/sub] = [rot][/rot](x) og
y[sub]b[/sub] = x[sup]2[/sup]

så funker ikke denne roteringen. Eller? Kanskje jeg ikke forstod deg helt?

[Gjest]

OK. Jeg har misforstått. Den gode nyheten er at jeg nå forstår hva du mener med roteringen, Gjest. Er det slik at nevnte rotering kan ses på som ekvivalent med byttingen av x og y?

[andersfk]

Er det slik at nevnte rotering kan ses på som ekvivalent med byttingen av x og y?

Roteringen og bytte av x og y gir (mye av) den samme effekten. Hvis du ser på funksjonene y[sub]a[/sub]=[rot][/rot]x og y[sub]b[/sub]=x[sup]2[/sup] som du kom med, vil en rotering og bytte av x og y ikke umiddelbart være helt det samme.

Årsak/løsning: Du ser at y[sub]a[/sub] har definisjonsmengden [0, uendelig>. Denne definisjonsmengden må arves av den inverse funksjonen hvis roteringen og y[sub]b[/sub]=x[sup]2[/sup] skal bli lik.

er ikke y^-1 = 1/y

Hvis du tenker på potenser, så er det helt korrekt. Dessverre har det blitt slik at den inverse funksjonen til [funk][/funk] betegnes som [funk][/funk][sup]-1[/sup], uten at det har noe som helst å gjøre med potensen (-1).

På samme måte vil den inverse sinusfunksjonen sin[sup]-1[/sup]x ikke være det samme som (1/sin x).

[mathvrak]

Hvis du tenker på potenser, så er det helt korrekt. Dessverre har det blitt slik at den inverse funksjonen til [funk][/funk] betegnes som [funk][/funk][sup]-1[/sup], uten at det har noe som helst å gjøre med potensen (-1).

På samme måte vil den inverse sinusfunksjonen sin[sup]-1[/sup]x ikke være det samme som (1/sin x).

ok takk

[Gjest]

Er det slik at nevnte rotering kan ses på som ekvivalent med byttingen av x og y?

Roteringen og bytte av x og y gir (mye av) den samme effekten. Hvis du ser på funksjonene y[sub]a[/sub]=[rot][/rot]x og y[sub]b[/sub]=x[sup]2[/sup] som du kom med, vil en rotering og bytte av x og y ikke umiddelbart være helt det samme.

Her tror jeg du - som jeg også først gjorde - misforstår denne roteringsteknikken som Gjest beskrev. Hvis du ser på de to nevnte funksjonene ovenfor i et grafvindu sammen med y = x, så vil du se en måte å rotere på som gjør at funksjonene bytter plass. Du roterer ved å holde i y = x.

Det må i så fall være denne roteringen som er ekvivalent med byttingen av x og y

[andersfk]

Her tror jeg du - som jeg også først gjorde - misforstår denne roteringsteknikken som Gjest beskrev.

Det er jeg som var Gjest, presterte bare å ikke logge meg på før jeg svarte. Men det kan jo tenkes at jeg misforstår teknikken jeg beskrev likevel.

Det må i så fall være denne roteringen som er ekvivalent med byttingen av x og y.

Ja, det er to sider av samme sak. Men for at ekvivalensen alltid skal gjelde, er det viktig å passe på at definisjonsmengdene er riktige.

Ta f.eks. ditt siste funksjonspar, y[sub]a[/sub]=[rot][/rot]x og y[sub]b[/sub]=x[sup]2[/sup]. Hvis vi roterer aksene sammen med y[sub]a[/sub], får vi den inverse funksjonen. Men hva er det egentlig vi ser, jo vi ser y[sub]b[/sub]=x[sup]2[/sup]. Men bare den delen av grafen som er i 1. kvadrant!

Det er altså viktig at definisjonsmengdene (her da spesielt definisjonsmengden til y[sub]b[/sub]=x[sup]2[/sup]) er riktige, og det var dette jeg prøvde å vise til i siste innlegg. Hvis dette er underforstått, så er jeg enig i at byttingen av x og y og rotasjonen er ekvivalente.

[Gjest]

andersfk:

Her er en kort MPG-film tatt med digitalkamera som viser hvordan jeg forstod roteringen:

http://matematikk.tripod.com/abc/MOV01448.MPG

[Gjest]

Hmm. Ser ut som man faktisk må kopiere linken inn i et nytt browservindu for å få lov til å laste ned fra Tripod?! Try it: Det burde funke.

[andersfk]

Her er en kort MPG-film tatt med digitalkamera som viser hvordan jeg forstod roteringen:

Aldri gjort rotasjonen selv i praksis, bare forestilt meg hvordan det ville bli. Heldigvis havnet aksene der de skulle.

Hvis du holder deg kun til 1. kvadrant slik som på filmen, så skjønner jeg at de andre innleggene mine kunne virke forvirrende. I tilfellet med
[rot][/rot]x og x[sup]2[/sup]
vil nemlig det å ha riktig definisjonsmengde faktisk være det samme som å kun konsentrere seg om 1. kvadrant.