Jeg har et uttrykk med x og y, og trenger denne på formen y=.... (et vanlig funksjonsuttrykk).
x+y+[rot][/rot](x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])=k
Håper noen klarer den.
Takk.
Vanskelig funksjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
STEG 1 - kvadrering (etter litt flytting)
x^2 + y^2 = (k - x - y)^2 = k^2 - 2k(x + y) + (x + y)^2, så
Føresetnad: k - x - y >= 0, dvs. k - x >= y, sidan .
k - x - y = √(x^2+y^2) >= 0, så me må ha k - x >= y.
STEG 2 - omskriving
k^2 - 2k(x + y) = 2xy, så
y(2x + 2k) = k^2 - 2kx
STEG 3 - y på ei side
y = (k^2 - 2kx)/(2x + 2k).
Her må me ikkje ha x = -k. Dersom x = -k vil 0 = k^2 + 2k^2 = 3k^2, så dette krev k = 0, men me har jo krevd at k > 0 (positiv konstant), så dette er ikkje eit vidare problem.
STEG 4 - sjekker føresetnadane på x (finn definisjonsmengda til y)
y = (k^2 - 2kx)/(2x + 2k) =< k - x.
La oss gå ut frå at k + x > 0. Då må k^2 - 2kx <= 2(k^2 - x^2), eller k^2 + 2kx - 2x^2 >= 0, dvs. (k + x)^2 >= 3x^2 = (x*[rot][/rot]3)^2. Dette gjev k + x >= x*[rot][/rot]3 >= -(k + x), eller k/([rot][/rot]3 - 1) >= x >= -k/([rot][/rot]3 + 1). Me ser lett at k + x > 0 i heile dette intervallet.
Dersom k + x < 0, så har me (k + x)^2 =< 3x^2 = (x*[rot][/rot]3)^2, dvs. at x*[rot][/rot]3 >= -(k + x) eller x*[rot][/rot]3 =< (k + x), dvs. respektive x >= -k/(1 + [rot][/rot]3) eller x =< k/([rot][/rot]3 - 1), dvs. at me har det same intervallet som for x + k >= 0, eit intervall der me veit at k + x > 0, så k + x kan ikkje vera mindre enn 0.
Av dette sluttar me at y = (k^2 - 2kx)/(2x + 2k) for alle x > - k..
Eg vil ta forbehold om feil i det overnemnde; det er ikkje kontrollsjekka.
x^2 + y^2 = (k - x - y)^2 = k^2 - 2k(x + y) + (x + y)^2, så
Føresetnad: k - x - y >= 0, dvs. k - x >= y, sidan .
k - x - y = √(x^2+y^2) >= 0, så me må ha k - x >= y.
STEG 2 - omskriving
k^2 - 2k(x + y) = 2xy, så
y(2x + 2k) = k^2 - 2kx
STEG 3 - y på ei side
y = (k^2 - 2kx)/(2x + 2k).
Her må me ikkje ha x = -k. Dersom x = -k vil 0 = k^2 + 2k^2 = 3k^2, så dette krev k = 0, men me har jo krevd at k > 0 (positiv konstant), så dette er ikkje eit vidare problem.
STEG 4 - sjekker føresetnadane på x (finn definisjonsmengda til y)
y = (k^2 - 2kx)/(2x + 2k) =< k - x.
La oss gå ut frå at k + x > 0. Då må k^2 - 2kx <= 2(k^2 - x^2), eller k^2 + 2kx - 2x^2 >= 0, dvs. (k + x)^2 >= 3x^2 = (x*[rot][/rot]3)^2. Dette gjev k + x >= x*[rot][/rot]3 >= -(k + x), eller k/([rot][/rot]3 - 1) >= x >= -k/([rot][/rot]3 + 1). Me ser lett at k + x > 0 i heile dette intervallet.
Dersom k + x < 0, så har me (k + x)^2 =< 3x^2 = (x*[rot][/rot]3)^2, dvs. at x*[rot][/rot]3 >= -(k + x) eller x*[rot][/rot]3 =< (k + x), dvs. respektive x >= -k/(1 + [rot][/rot]3) eller x =< k/([rot][/rot]3 - 1), dvs. at me har det same intervallet som for x + k >= 0, eit intervall der me veit at k + x > 0, så k + x kan ikkje vera mindre enn 0.
Av dette sluttar me at y = (k^2 - 2kx)/(2x + 2k) for alle x > - k..
Eg vil ta forbehold om feil i det overnemnde; det er ikkje kontrollsjekka.
-
Gjest
Tusen takk. Skjønte teknikken din.
Takk igjen.
Det skulle vel vært =-2xy på høyre side? Da får jeg nemlig funksjonen din til å stemme.Anonymous skrev:STEG 2 - omskriving
k^2 - 2k(x + y) = 2xy, så
Takk igjen.