matematikk.net

Hvordan løser man likningen
[tex]x^x=256[/tex]?

Om denne likningen har en løsning, og man ikke skal bruek syke abstrakte måter å løse den på.

Så må man kunne skrive [tex]256[/tex] som [tex]a^a[/tex]

For eksempel vil løsningen av

[tex]x^x=4[/tex] være [tex]x=2[/tex] siden [tex]4[/tex] kan skrives som [tex]2^2[/tex]


[tex]x^x=27[/tex]
[tex]x^x=3^3[/tex]
[tex]x=3[/tex]

osv

En ligning som dette har enten heltallige løsninger, eller så har den ingen analytisk løsning. De som husker verdiene for 2[sup]n[/sup], ser lett at her er: x= 4.

Er ikke helt sikker på om jeg skjønner resonnementet over, men du kan jo i prinsippet bare si at funksjonen opplagt er strengt voksende , så om du finner en løsning kan det ikke finnes flere. Du er da litt kjent med toerpotenser og gjetter deg til at x=4, og vet dermed at dette er eneste løsning.

Karl_Erik skrev:Er ikke helt sikker på om jeg skjønner resonnementet over, men du kan jo i prinsippet bare si at funksjonen opplagt er strengt voksende , så om du finner en løsning kan det ikke finnes flere. Du er da litt kjent med toerpotenser og gjetter deg til at x=4, og vet dermed at dette er eneste løsning.

x^x er vel strengt tatt ikke strengt voksende på R

Tegner grafen i geogebra, men den viser bare funksjonverdiene til de positive x-verdiene. Så spørsmålet blir:

Hvorfor er det ikke mulig å opphøye negative tall i seg selv? (Finnes sikkert komplekse løsninger, men jeg er ute etter relle)

Når jeg tenker meg om blir alle negative rasjonale tall opphøyd i seg selv et komplekst tall (utenom heltallene). Er det dermed bare heltallsverdier for x som gir reelle løsninger og er det igjen grunnen til at grafen ser ut som den gjør?

plutarco skrev:

Karl_Erik skrev:Er ikke helt sikker på om jeg skjønner resonnementet over, men du kan jo i prinsippet bare si at funksjonen opplagt er strengt voksende , så om du finner en løsning kan det ikke finnes flere. Du er da litt kjent med toerpotenser og gjetter deg til at x=4, og vet dermed at dette er eneste løsning.

x^x er vel strengt tatt ikke strengt voksende på R

Beklager, ja, dette har du selvfølgelig rett i. For å fikse feilen er den dog klart voksende for x>1, og det er også klart at om x^x = 256 må x>1.

Fibonacci92 skrev:Tegner grafen i geogebra, men den viser bare funksjonverdiene til de positive x-verdiene. Så spørsmålet blir:

Hvorfor er det ikke mulig å opphøye negative tall i seg selv? (Finnes sikkert komplekse løsninger, men jeg er ute etter relle)

Når jeg tenker meg om blir alle negative rasjonale tall opphøyd i seg selv et komplekst tall (utenom heltallene). Er det dermed bare heltallsverdier for x som gir reelle løsninger og er det igjen grunnen til at grafen ser ut som den gjør?

Problemet blir som du sier at det er vanskelig å definere hva et negativt tall opphøyd i noe som ikke er et heltall er uten å gå veien om komplekse tall. Heltall går dog som du sier fint, så tegner du grafen til imaginærdelen til x^x for negative x burde du da se at denne er null på alle heltall.

Nerdemodus:

Gjenkjenner at 256 er 2^8. Antar derfor at løsningen er multipel av 2.

[tex](2\cdot \frac{x}{2})^x = 2^8 \\ 2^x (\frac{x}{2})^x = 2^8 \\ (\frac{x}{2})^x = 2^{8-x}[/tex]

For at tallene skal være like, bør (må?) grunntallet være likt. Prøver derfor med x=4 og ser at dette er en løsning.

Lite generell framgangsmåte dog, så prøv og feil er mye kjappere og lettere

Men finnes det noen metode for å løse hvilken som helst likning [tex]x^x[/tex]?