Kan noen vise meg hvordan man finner toppunktet ved regning?

[Isabella]

Hallo jeg vil finne ut hvordan man finner toppunktet uten å måtte bruke kalkulatoren. Et eksempel på en oppdiktet oppgave nedenfor

Finn toppunktet ved å regne:

f(x) = - 1\2 x^2 + 4x -6

Kan noen regne ut dette eksemplet for meg?

Hvis jeg bruker kalkulatoren så sier den at toppunktet er X = 4 og Y = 2 men dette er bare tastetrykk så derfor ønsker jeg å finne ut dette ved å regne.

[Vektormannen]

Det første du må gjøre er å derivere. Klarer du å derivere denne funksjonen?

[Isabella]

Det har vi ikke lært enda.

[Vektormannen]

Ok. Da må man benytte en litt annen strategi.

Funksjonen du har gitt er et eksempel på en andregradsfunksjon. Den er slik at hvis du trekker en vertikal (loddrett) linje rett gjennom topp-punktet, vil grafen være symmetrisk om denne linjen. Den vil altså være helt 'lik' på begge sider. Er du med på dette? Det betyr at hvis vi finner nullpunktene til denne funksjonen, så må topp-punktet sin x-koordinat ligge midt mellom disse to nullpunktene. Er du med på det?

Så hvis du nå finner nullpunktene til denne, så vet du at topp-punktet har x-koordinat midt mellom. Har du en idé om hvordan du da kan finne y-koordinaten?

[Isabella]

Jeg forstår hva du vil frem til, men det jeg vil bare vite dette på eget initiativ for vi har kalkulator og Geogebra til sånt som dette. Kan du ikke bare være så snill å regne ut denne oppgaven, det vil forenkle prosessen betraktelig når jeg ser hvordan du har regnet ut oppgaven fordi jeg kan da bruke samme fremgangs måte i fremtiden.

[Vektormannen]

Ok, greit nok. Hvordan du finner nullpunktene gidder jeg ikke å vise, det regner jeg med du klarer. Det er bare snakk om å sette funksjonen lik 0 og regne ut andregradsligningen på vanlig måte (abc-formel f.eks.) Da får du nullpunktene x = 2 og x = 6. Da må topp-punktet ha koordinat midt mellom disse to, altså i x = 4. Så var detå finne y-koordinaten. Da må vi sette x-koordinaten inn i funksjonen -- det er jo funksjonen som gir oss y-verdien til et hvert punkt på kurven. Da får vi at [tex]f(4) = -\frac{1}{2} \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2[/tex], så topp-punktet er i (4,2).

Denne fremgangsmåten kan generaliseres litt. Når vi har en andregradsfunksjon, finner vi nullpunktene fra formelen [tex]x = \frac{-b \pm \sqrt{r}}{2a}[/tex], der r er [tex]b^2 - 4ac[/tex]. Det viser seg at uansett om funksjonen har reelle nullpunkter eller ikke, kan man alltid finne topp/bunn-punktet ved å finne snittet av (punktet midt mellom) de to nullpunktene:

[tex]x_{topp} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{-b - \sqrt{r}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{r}}{2a}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{2b}{2a}\right) = -\frac{b}{2a}[/tex]

Så i korte trekk vil du alltid ha at x-koordinaten til topp-punktet er gitt ved [tex]x_{topp} = -\frac{b}{2a}[/tex].

[Isabella]

Jeg forstår mer nå, men det var en ting jeg lurte på du fant ut at toppunktet var 2 men hvor kommer 4 inn i bilde hen i forbindelse med regning? Jeg takker for din hjelp.

[Thales]

Jeg forstår mer nå, men det var en ting jeg lurte på du fant ut at toppunktet var 2 men hvor kommer 4 inn i bilde hen i forbindelse med regning? Jeg takker for din hjelp.

Toppunktet har to koordinater, [tex]x=4[/tex] og [tex]y=f(4)=2[/tex].