Integrasjon og omdreiningslegemer

[Gjest]

For å regne ut arealet under en graf, kan vi dele inn arealet i et visst antall rektangler eller trapeser, og summere disse. Lar vi dette antallet gå mot uendelig, får vi et bestemt integral.

Svaret blir her det samme for både rektangelmetoden og trapesmetoden, og det synes jeg virker logisk når bitene blir "uendelig små".

Hvis vi skal finne overflaten av et omdreiningslegeme er det slik jeg ser det to måter vi kan dele legemet inn i; kjegledeler og sylindere. Hvis vi lot antallet kjegledeler/sylindere gå mot uendelig, ville jeg tro at overflateuttrykket ville bli det samme. Det er derimot ikke tilfelle.

Kjegledelmetoden gir uttrykket:
A=[itgl][/itgl]2[pi][/pi]y[rot](1+(dy/dx)[sup]2[/sup])[/rot]dx

Sylinder gir uttrykket:
A=[itgl][/itgl]2[pi][/pi]ydx

Noen som kan gi meg en forklaring på hvorfor det er sånn? Takk.

[Kent]

Tar forbehold om at y=f(x) er kontinuerlig og definert på intervallet.
Når sier du benytter sylinder og multipliserer y med dx multipliserer du to konstanter. dx kan tenkes som en konstant, men "uendelig" liten, lengde (evt. konstant infinitesimal størrelse). y vil være tilnærmet konstant på intervallet dx (grenseverdi - det vil ikke være lønnsomt å behandle y som en variabel når størrelsene er så små). Dermed vil din sylindermetode ikke ta hensyn til at y vokser mellom x[sub]i[/sub] og x[sub]i[/sub]+dx, noe den andre (korrekte) metoden gjør.

Edit: Når y vokser øker hypotenusens lengde i trekanten med dx og y som kateter. Det er den hypotenusen sammen med omkretsen som er av betydning for arealet.

[Gjest]

Dermed vil din sylindermetode ikke ta hensyn til at y vokser mellom x[sub]i[/sub] og x[sub]i[/sub]+dx, noe den andre (korrekte) metoden gjør.

Så det har noe å si selv når dx går mot null (kanskje et dumt spr.)? Volumformelen for omdreiningslegeme utledes jo f.eks. ved hjelp av sylinderdeler med høyde=dx og bunnareal=[pi][/pi]*y². Denne tar vel heller ikke hensyn til stigningen du snakker om, men formelen blir riktig. Hvorfor fungerer det for volum og ikke areal?

[Kent]

Så det har noe å si selv når dx går mot null (kanskje et dumt spr.)?

Hvis du antar at hypotenusen står 60 grader på roteringsaksen vil hypotenusen være dobbelt så lang som dx. Det blir en relativt betydelig forskjell i areal.

Volumformelen for omdreiningslegeme utledes jo f.eks. ved hjelp av sylinderdeler med høyde=dx og bunnareal=[pi][/pi]*y². Denne tar vel heller ikke hensyn til stigningen du snakker om, men formelen blir riktig. Hvorfor fungerer det for volum og ikke areal?

Arealet på hver side av sylinderen er nesten like, så den forskjellen blir ubetydelig.
Du får vel omtrent samme problematikken når det gjelder omkretsen du bruker når du regner ut arealet, men jeg er ikke sikker på nøyaktig hvor grensen for at størrelsene er ubetydelige eller ikke går. Kommer heller ikke på noe godt bevis for dette i øyeblikket. Kanskje noen andre kan bidra med noe?

[Gjest]

Står litt om problemet her:
http://mathforum.org/library/drmath/view/51814.html.

Du får vel omtrent samme problematikken når det gjelder omkretsen du bruker når du regner ut arealet, men jeg er ikke sikker på nøyaktig hvor grensen for at størrelsene er ubetydelige eller ikke går. Kommer heller ikke på noe godt bevis for dette i øyeblikket. Kanskje noen andre kan bidra med noe?

Det kan ikke jeg i hvertfall. Håper ekspertene slår til.

[Videregående-elev]

Har lurt på det samme...

Hvis du antar at hypotenusen står 60 grader på roteringsaksen vil hypotenusen være dobbelt så lang som dx. Det blir en relativt betydelig forskjell i areal.

Men forskjellen blir mindre viktig når det er snakk om volum? Eller vanlig planareal?