Klassisk geometri
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
De 3 klassiske geometriproblemene:
1. Å konstruere et kvadrat med like stort areal som en gitt sirkel.
2. Å konstruere en kube med dobbelt så stort volum som en gitt kube.
3. Å dele en vilkårlig vinkel i tre like store deler.
Hjelpemidler til konstruksjon: passer og linjal (til å tegne rette streker).
1. Å konstruere et kvadrat med like stort areal som en gitt sirkel.
2. Å konstruere en kube med dobbelt så stort volum som en gitt kube.
3. Å dele en vilkårlig vinkel i tre like store deler.
Hjelpemidler til konstruksjon: passer og linjal (til å tegne rette streker).
-
Dinesh
Kan dere hjelpe meg å løse disse 2 oppgavene her og hvordan de skal føres oversiktlig.
^ betyr samtidig
V betyr enten eller
Finn løsningene
stykke 1:
x=3 V x*x=9
Stykke 2:
x=2 ^ x*x-2x+1=0
Tusen hjertelig takk
^ betyr samtidig
V betyr enten eller
Finn løsningene
stykke 1:
x=3 V x*x=9
Stykke 2:
x=2 ^ x*x-2x+1=0
Tusen hjertelig takk
-
Gjest
^ heter egentlig snitt, og kalles "og"
V er egentlig union, og kalles "eller".
Når du bruker ligninger eller ulikheter foretrekkes det at du bruker 'språktegnene'. Det vil si "og" og "eller". For intervaller brukes ^ og V.
x=3 V x*x=9 skulle i såfall vært skevet slik:
x=3 eller x*x=9.
I allefall: Kjenner du til intervaller? Et interval kan være ]-3; 5].
Dette intervalet tilsvarer -3 < x =< 5.
Intervalet ]-3; 5] V [10; 28[
ville med ulikheter blitt skrevet slik:
-3 < x =<5 eller 10 =< x < 28.
Tilbake til oppgaven din:
Oppgave 1:
x=3 eller x*x=9
er ekvivalent med x=3 eller x^2=9 .
x = 3 er grei, den får vi gjort noe mer med.
x^2 = 9 derimot, må vi korte ned til 1. grad.
I Norge ville man tatt kvadratroten av X^2 , og funnet at x = +- 3 .
Men dette er matematisk upresist siden det ikke går an å ta kvadratroten av et negativt tall (prøv å se for deg et kvadrat med en side med negativ lengde, men positivt areal. Her ville siden s= -3 (i det negativet tilfellet) , og arealet A = 9. Dette er matematisk umulig.) Allikevel skriver de det slik på videregående i Norge. Egentlig uhørt.
Tilbake til oppgaven igjen. Ligningen x^2 = 9 har altså ingen reel løsning (kun imaginær; i).
V er egentlig union, og kalles "eller".
Når du bruker ligninger eller ulikheter foretrekkes det at du bruker 'språktegnene'. Det vil si "og" og "eller". For intervaller brukes ^ og V.
x=3 V x*x=9 skulle i såfall vært skevet slik:
x=3 eller x*x=9.
I allefall: Kjenner du til intervaller? Et interval kan være ]-3; 5].
Dette intervalet tilsvarer -3 < x =< 5.
Intervalet ]-3; 5] V [10; 28[
ville med ulikheter blitt skrevet slik:
-3 < x =<5 eller 10 =< x < 28.
Tilbake til oppgaven din:
Oppgave 1:
x=3 eller x*x=9
er ekvivalent med x=3 eller x^2=9 .
x = 3 er grei, den får vi gjort noe mer med.
x^2 = 9 derimot, må vi korte ned til 1. grad.
I Norge ville man tatt kvadratroten av X^2 , og funnet at x = +- 3 .
Men dette er matematisk upresist siden det ikke går an å ta kvadratroten av et negativt tall (prøv å se for deg et kvadrat med en side med negativ lengde, men positivt areal. Her ville siden s= -3 (i det negativet tilfellet) , og arealet A = 9. Dette er matematisk umulig.) Allikevel skriver de det slik på videregående i Norge. Egentlig uhørt.
Tilbake til oppgaven igjen. Ligningen x^2 = 9 har altså ingen reel løsning (kun imaginær; i).
-
Dinesh
jeg kan det du har svart på fra før av, det vare snilt av deg, tusen takk for hjelpen. Jeg lurte på hvordan du hadde ført inn oppgaven f.eks hvis det hadde vært en prøve oppgave. Hadde du bare skrevet at løsningen var x=3
Takk igjen
Takk igjen
-
Gjest
Dei [/i]fire klassiske kontruksjonsproblema er dei tre tidlegare nemnde og i tillegg å konstruera eit regulært polygon med n > 2 sider. EIn skal her berre bruka passar og umerka linjal.
Det fjerde problemet har ei løysning for enkelte n, så som 3, 4, 5 og 17 [generelt alle tal på forma 2[sub]k[/sub]*Q, Q eit produkt av Fermatprimtal, primtal på forma 2[sub]m[/sub] + 1], medan dei tre andre problema ikkje har løysningar. Dette er naturlegvis gjeve den svært strenge avgrensinga i godkjent utstyr (mao. er ikkje dette meir interessant enn eit estetisk eksempel på bruk av abstrakt algebra for å løysa geometriske problem).
Det fjerde problemet har ei løysning for enkelte n, så som 3, 4, 5 og 17 [generelt alle tal på forma 2[sub]k[/sub]*Q, Q eit produkt av Fermatprimtal, primtal på forma 2[sub]m[/sub] + 1], medan dei tre andre problema ikkje har løysningar. Dette er naturlegvis gjeve den svært strenge avgrensinga i godkjent utstyr (mao. er ikkje dette meir interessant enn eit estetisk eksempel på bruk av abstrakt algebra for å løysa geometriske problem).
-
Gjest
stykke 1: x=3 V x*x=9
Stykke 2: x=2 ^ x*x-2x+1=0
Han eller ho som tidlegare svarte på desse oppgåvene ovanfor, hadde ei rekkje uheldige feil som må rettast på:
(1) V betyr "og/eller", og har ingenting direkte med union å gjera (unionar handlar om mengdelære; dette handlar om logikk)! TIlsvarande betyr (^, eg. ein snudd V) "og", og ikkje "snitt".
(2) Eit intervall I er samanhengande i den forstand at dersom både a og b er i I, så er alle reelle tal mellom a og b også i I. Altså er til dømes (-3, 5]U[10,28) ikkje eit intervall, men ein union av to intervall.
(3) Det er minst like meiningsfullt å skriva x = 3 V x^2 = 9 som å skriva (-3, 5]V[10, 28). Faktum er at førstnemnde gjev meining; me veit at anten har me x = 3 og/eller x^2 = 9, medan sistnemnde ikkje gjev meining: (-3,5] og/eller [10, 28)? Kva er det som er anten det eine eller det andre her? [Det måtte vorte deklarert eit namn, så som I; intervallet I er anten det eine eller det andre].
(4) ]-3; 5] V [10; 28[ vil ikkje med ulikskapar skrivast som -3 < x =<5 eller 10 =< x < 28. Det sistnemnde viser derimot til uttrykket x i ]-3; 5] V x i [10; 28[.
(5) Snakket om manglande presisjon knytt til kvadratrøter og slikt er direkte rotete:
Du prøver å samanlikna med areal og lengder. x^2 = 9 var i utgangspunktet eit slikt geometrisk problem, men i algebraen har ein inkludert negative tal for lenge sidan. Det er ingen problem med -3 algebraisk sett, berre geometrisk sett (men kor stod det at x > 0??).
Det går ikkje an å ta kvadratrota av eit negativt tal og få eit reelt tal, men du påstår her at det ikkje går an å kvadrera eit reelt tal; (-3)^2 = 9, det er det ingen tvil om! Det geometriske eksemplet du skulle brukt er: Førestill deg eit kvadrat med negativt areal...
Likninga x^2 = 9 har såvisst reelle løysningar, nemleg 3 og -3. Imaginære løysningar finst derimot ikkje. 9 er eit positivt tal, så dette går det fint an å trekkja ut kvadratrota av.
x^2 >= 0 for alle reelle tal x, så dette talet er alltid positivt og har såleis alltid ei kvadratrot!
LØYSNING PÅ OPPGÅVENE:
x^2 = 9 gjev x = 3 eller x = -3, så løysningane er x = 3 og x = -3.
Viss du meinte anten/eller (som ikkje har noko spesifikt teikn): Dersom x = 3 så har me begge deler, så x = -3 er den einaste kandidaten.
x=2 ^ x*x-2x+1=0
Den einaste kandidaten er x = 2, men 2*2 - 2*2 + 1 = 1, som ikkje er 0, så her finst ingen løysningar.
Stykke 2: x=2 ^ x*x-2x+1=0
Han eller ho som tidlegare svarte på desse oppgåvene ovanfor, hadde ei rekkje uheldige feil som må rettast på:
(1) V betyr "og/eller", og har ingenting direkte med union å gjera (unionar handlar om mengdelære; dette handlar om logikk)! TIlsvarande betyr (^, eg. ein snudd V) "og", og ikkje "snitt".
(2) Eit intervall I er samanhengande i den forstand at dersom både a og b er i I, så er alle reelle tal mellom a og b også i I. Altså er til dømes (-3, 5]U[10,28) ikkje eit intervall, men ein union av to intervall.
(3) Det er minst like meiningsfullt å skriva x = 3 V x^2 = 9 som å skriva (-3, 5]V[10, 28). Faktum er at førstnemnde gjev meining; me veit at anten har me x = 3 og/eller x^2 = 9, medan sistnemnde ikkje gjev meining: (-3,5] og/eller [10, 28)? Kva er det som er anten det eine eller det andre her? [Det måtte vorte deklarert eit namn, så som I; intervallet I er anten det eine eller det andre].
(4) ]-3; 5] V [10; 28[ vil ikkje med ulikskapar skrivast som -3 < x =<5 eller 10 =< x < 28. Det sistnemnde viser derimot til uttrykket x i ]-3; 5] V x i [10; 28[.
(5) Snakket om manglande presisjon knytt til kvadratrøter og slikt er direkte rotete:
Du prøver å samanlikna med areal og lengder. x^2 = 9 var i utgangspunktet eit slikt geometrisk problem, men i algebraen har ein inkludert negative tal for lenge sidan. Det er ingen problem med -3 algebraisk sett, berre geometrisk sett (men kor stod det at x > 0??).
Det går ikkje an å ta kvadratrota av eit negativt tal og få eit reelt tal, men du påstår her at det ikkje går an å kvadrera eit reelt tal; (-3)^2 = 9, det er det ingen tvil om! Det geometriske eksemplet du skulle brukt er: Førestill deg eit kvadrat med negativt areal...
Likninga x^2 = 9 har såvisst reelle løysningar, nemleg 3 og -3. Imaginære løysningar finst derimot ikkje. 9 er eit positivt tal, så dette går det fint an å trekkja ut kvadratrota av.
x^2 >= 0 for alle reelle tal x, så dette talet er alltid positivt og har såleis alltid ei kvadratrot!
LØYSNING PÅ OPPGÅVENE:
x^2 = 9 gjev x = 3 eller x = -3, så løysningane er x = 3 og x = -3.
Viss du meinte anten/eller (som ikkje har noko spesifikt teikn): Dersom x = 3 så har me begge deler, så x = -3 er den einaste kandidaten.
x=2 ^ x*x-2x+1=0
Den einaste kandidaten er x = 2, men 2*2 - 2*2 + 1 = 1, som ikkje er 0, så her finst ingen løysningar.