Derivasjon med kubokrot

[haros1]

Den deriverte av
[tex]f(x)=sqrt{x}[/tex]
regnet jeg ut slik:
[tex]f(x)=\lim_{\Delta x \to0}\frac{sqrt{x+\Delta x}-sqrt{x}}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to0}\frac{(sqrt{x+\Delta x}-sqrt{x})(sqrt{x+ \Delta x}+sqrt{x})}{\Delta x(sqrt{x+ \Delta x}+sqrt{x})}= \lim_{\Delta x \to0}\frac{x+\Delta x -x}{\Delta x(sqrt{x+ \Delta x}+sqrt{x})}=\lim_{\Delta x \to0}\frac1{sqrt{x+ \Delta x}+sqrt{x}}\rightarrow \frac1{2sqrt{x}}[/tex]
(Hvordan får jeg det under hverandre og hvordan får jeg til derivasjonstegn?)
Hvordan skal man gjøre det med [tex]f(x)=x^{1/3}[/tex]eller med andre røtter?

[Eliasf]

[tex]\Large\ f(x)\ =x^{\frac{1}{3}}\\\ f^{\prime}(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}}\ \ = \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}\ =\frac{1}{3\cdot x^{\frac{2}{3}} [/tex]


Mener det er bare å følge de vanlige derivasjonsreglene?

[tex]\Large \text{Den deriverte av}\ x^{\frac{a}{b}}=\ \frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a-b}{b}}\ [/tex]

Hvis [tex]\frac{a-b}{b}[/tex] blir negativt, blir det "penere" om man flytter x faktoren under brøken.
Mener i hvert fall jeg.

[haros1]

Jeg har gjort det óg, men jeg vil gjerne "se bak" reglene, og å forstå hva som skjer.