matematikk.net

Oppgave 1

I trekant ABC er [tex]A(1,1,2) \, , \, B(7,4,4)[/tex] og [tex]C(4,7,4)[/tex]

a) Finn vinkel [tex]A[/tex]
b) Finn arealet av trekanten [tex]ABC[/tex]
Et punkt [tex]T[/tex] har koordinatene [tex]T(2+t,2+3t,6+t)[/tex]
c) Finn et uttrykk for volumet av pyramiden [tex]ABCT[/tex]
d) Finn koordinatene til [tex]T[/tex] når pyramiden har volumet [tex]18[/tex].
e) Finn koordinatene til [tex]T[/tex], når [tex]A\,,\, B\,, \,C[/tex] og [tex]T[/tex] ligger i samme plan

Oppgave 2

a) Finn likningen for planet som går gjennom punktene[tex] A(2,1,2)\, , \,B(4,3,3) \,,\, C(3,-1,4)[/tex]
b) Vis at [tex]A[/tex] i [tex]ABC[/tex] er [tex]90^o[/tex]
c) Finn skjæringspunktet mellom linja og planet.
d) Finn avstanden fra punktet [tex]D[/tex] til planet.
e) Likningen for planet [tex]\alpha}[/tex] er gitt ved: [tex]x+2y+3z=6[/tex]. Et annet plan [tex]\beta[/tex] har likningen: [tex]11x+8y+5z-66=0[/tex]. Finn vinkelen mellom planene.

Oppgave 3

En kule har sentrum [tex]S(3,-2,4)[/tex] og radius [tex]5[/tex]

a) Finn likningen for kulen
b) Vis at punktet [tex]P(-1,1,4)[/tex] ligger på kulen
Et plan [tex]\pi[/tex] tangerer kulen i punktet P[/tex]
c) Finn likningen til [tex]\pi[/tex]

Oppgave 4

Et fly går fra Bergen ([tex]5.36^o[/tex] øst , [tex]60.31^o[/tex] nord) og direkte til Paris ([tex]2.37^o[/tex] øst, [tex]48.78^o[/tex]). Flyet går [tex]10[/tex]km over bakken og jordradien er [tex]R=6370[/tex]km. Finn avstanden flyet tilbakelegger

Oppgave 1

a) [tex]\angle A = \angle \left( {AB,AC} \right) = \arccos \left( {\frac{{AB \cdot AC}}{{\left| {AB} \right| \cdot \left| {AC} \right|}}} \right) = \arccos \left( {\frac{{40}}{{7 \cdot 7}}} \right) \approx 35.28[/tex]

b) [tex]A = \frac{1}{2}\left| {AB \times AC} \right| = \frac{1}{2}\left[ {\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{27}^2}} } \right] = \frac{3}{2}\sqrt {89} [/tex]

c) [tex]A = \left| {\frac{1}{6}\left( {AB \times AC} \right)AT} \right| = \left| {\frac{1}{6}\left[ { - 6, - 6,27} \right] \cdot \left[ {1 + t,1 + 3t,4 + t} \right]} \right| = \frac{1}{6}\left( {96 + 3t} \right) = \frac{1}{2}t + 16[/tex]

d) [tex]18 = |\frac{1}{2}t + 16| \Rightarrow t = 4 \, \vee \, t=-68\Rightarrow T\left( {6,14,10}\right) \, ,\, T(-66, - 202, -62)[/tex]

e) [tex] n = AB \times AC = \left[ { - 6, - 6,27} \right]{\rm{ }}\alpha :a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right)6 + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0 [/tex]

[tex]- 6\left( {x - {1}} \right) + \left( { - 6} \right)\left( {y - {1}} \right)6 + 27\left( {z - {2}} \right) \Rightarrow - 6x - 6y + 27z - 42 [/tex]

[tex]- 6\left( {2 + t} \right) - 6\left( {2 + 3t} \right) + 27\left( {6 + t} \right) - 42 = 0 \Rightarrow t = - 32 \Rightarrow T\left( { - 30, - 94, - 26} \right)[/tex]


Oppgave 2

a)[tex] n = AB \times AC = \left[ { - 6, - 3,6} \right] = 3\left[ { - 2, - 1,2} \right]{\rm{ }} [/tex]

[tex] \gamma :a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right)6 + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0 [/tex]

[tex] \gamma : - 2\left( {x - 2} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {y - 1} \right)6 + 2\left( {z - 2} \right) \Rightarrow \gamma :2x - y - 2z + 1 = 0 [/tex]

b) [tex]A = {90^ \circ } \Leftrightarrow AB \cdot AC = 0 \Leftrightarrow \left[ {2,2,1} \right] \cdot \left[ {1, - 2,2} \right] = 0 \Leftrightarrow 2 - 4 + 2 = 0\;\;{\rm{ Q}}{\rm{.E}}{\rm{.D}}[/tex]

c)[tex] l:\left\{ \begin{array}{l}x:6t \\ y:6 - 3t \\ z:8 - 6t \\ \end{array} \right.{\rm{ }}og{\rm{ }}\gamma :{\rm{ }}2x - y - 2z + 1 = 0 [/tex]

[tex] 2\left( {6t} \right) - \left( {6 - 3t} \right) - 2\left( {8 - 6t} \right) = 0 \Rightarrow t = \frac{{21}}{{27}} = \frac{7}{9} [/tex]

[tex]K = l:\left\{ \begin{array}{l}x:6\left( {\frac{7}{9}} \right) \\ y:6 - 3\left( {\frac{7}{9}} \right) \\ z:8 - 6\left( {\frac{7}{9}} \right) \\ \end{array} \right. = \left( {\frac{{14}}{3},\frac{{11}}{3},\frac{{10}}{3}} \right)[/tex]

d) [tex]d = \left| {DK} \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{14}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2}} = 7[/tex]

e) [tex]n = \left[ {1,2,3} \right]{\rm{ k}} = \left[ {11,8,5} \right] [/tex]

[tex] \angle \left( {n,k} \right) = \arccos \left( {\frac{{n \cdot k}}{{\left| n \right|\left| k \right|}}} \right) = \frac{{42}}{{\sqrt {14} \sqrt {210} }} \approx {\rm{39}}{\rm{.231}} [/tex]


Oppgave 3

a) [tex] {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = r^2 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + {y^2} + 4y + {z^2} - 8z + 29 = 5^2[/tex]

b) [tex]{\left( { - 1 - 3} \right)^2} + {\left( {1 + 2} \right)^2} + {\left( {4 - 4} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {4^2} + {3^2} = {5^2}{\rm{ Q}}{\rm{.E}}{\rm{.D}}[/tex]

c) [tex] n = PS = \left[ {4, - 3,0} \right] [/tex]

[tex] \lambda :{\rm{ }}a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) [/tex]

[tex]\lambda :{\rm{ }}4\left( {x + 1} \right) + - 3\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 4} \right) \Rightarrow \lambda :{\rm{ }}4x + 7 - 3y = 0 [/tex]


Oppgave 4

[tex] B = \left[ {\cos v\cos u,\cos v\sin u,\sin v} \right] [/tex]

[tex] \angle \left( {B,P} \right) = \arccos \left( {\frac{{BP}}{{\left| B \right|\left| P \right|}}} \right) \approx 1.36r = {\rm{56}}{\rm{,06}}{{\rm{6}}^o} [/tex]

[tex] l = \theta r = {\rm{0}}{\rm{,97}} \cdot 6380 \approx 1322km [/tex]

Hei!

Dette så jo rimelig friskt ut Bare lurte på hvilket nivå du er på, hva er det du studerer?:)

Edit: Ser at det står R2 ja:)

Litt usikker på de siste to deloppgavene på oppgave 1, og oppgave 4 men resten var rimelig planke.

He he det er vel liten tvil om at du er rimelig stødig i matematikken, har eet stykke igjen før jeg kan kalle dette for plankekjøring!;)

Hadde gått greiere om jeg hadde øvd, leste gjennom kapitellet kvelden før. Så igjennom eksemplene og regnet to tre oppgaver. Ogda følte jeg det satt.

Får jobbe litt mer med rekker og følger.

Nebuchadnezzar skrev:Litt usikker på de siste to deloppgavene på oppgave 1, og oppgave 4 men resten var rimelig planke.

Tar forbehold, for nå har jeg kladda i lysets hastighet, 1e) og f) ser riktig ut, men trur du får to ulike t verdier på d) t = -68 gir T(-66, - 202, -62)

[tex] 18 = \left| {\frac{1}{2}t + 16} \right| [/tex]

[tex] 18 = \frac{1}{2}t + 16 \vee - 18 = \frac{1}{2}t + 16 [/tex]

[tex] t = 4 \vee t = - 68 [/tex]



Sløvt å glemme absoluttegnet ja... Men tror du at sekseren kan holde om resten er riktig?

Nebuchadnezzar skrev:[tex] 18 = \left| {\frac{1}{2}t + 16} \right| [/tex]
[tex] 18 = \frac{1}{2}t + 16 \vee - 18 = \frac{1}{2}t + 16 [/tex]
[tex] t = 4 \vee t = - 68 [/tex]

Sløvt å glemme absoluttegnet ja... Men tror du at sekseren kan holde om resten er riktig?

absolutt...

Hei, sitter og øver her til matte prøve. Denne prøven så veldig grei ut, helt til jeg begynt på oppgave 4. Jeg rett og slett får ikke til den. Vet ikke hvor jeg skal begynne. Jeg skjønner ikke helt hva som står i fasiten. Kan noen vise meg veien å løse slike oppgaver på?

EDIT:

Prøvd meg frem igjen. Fant koordinatene til Bergen og Paris. Så fant jeg at cosinus til vinkel mellom Paris og Bergen er lik 0.9794. Som gir vinkel på 11.66. Da blir buen BS [tex]2*\pi*6380km*\frac{11.66}{360}=1298km[/tex]. Tenker jeg feil her?

Tror du tenker riktig, husker jeg riktig bommet jeg med noen kilometer på den oppgaven. Men har dessverre ikke tid til å se over det just nu. Ah, gode minner ^^

Okej. Det er godt å vite.
Går du andre året på NTNU, Nebuchadnezzar? Trives du der? Jeg selv vurderer NTNU til neste år, men har ikke bestemt meg ennå hvilken retning jeg vil gjerne ta.

Blir litt utenfor diskusjonen. Men ja jeg trives, men om du trives på gløs vil variere veldig. Det kommer an på hvor skoleflink du er/hvor gira du er på å jobbe mye, hvilket miljø du havner i osv. Kort sagt er studentmiljøet i Trondheim ekstremt bra. På samme måte kreves det og svært mye av studentene på de fleste linjer. Alle som i praksis tar realfag. Avhengig av fag har du ca 4 obligatoriske innleveringer hver uke. Da er det noe roligere på UIB eller UIO, med tanke på arbeidsrytmen. Fagene er ikke lettere og heller ikke eksamen, men en har færre fag (3), og bestemmer større grad hvordan en vil lese. Men hvilken måte en lærer best på er jo veldig individuelt.

Tusen takk for tilbakemeldingen. Skal ikke gå lengre i denne diskusjonen. Skal bare si at jeg gleder meg å begynne på ntnu.