Side 1 av 1
Funksjonsdrøfting
Lagt inn: 03/03-2011 13:22
av ambitiousnoob
Hei!
Står litt fast når jeg skal til med en oppgave her, det gjelder følgende oppgave:
Funksjonen f er gitt ved:
[tex]f(x)=-2x^4+4x^3 x<2[/tex]
[tex]f(x)=3x^2-18x+24 x>2[/tex]
Oppgaven går ut på å:
a) Bestem nullpunktene til funksjonen
b) Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i x=2 (løst)
c) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter
d) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen. Finn likningene for evntuelle vendetangenter
e) Tegn grafen og eventuelle vendetangenter.
Problemet ligger litt i hvordan jeg skal angripe 4. gradslikningen, ser for meg at det må deriveres, faktoriseres og settes i fortegnsskjema, men ser ikke helt hvordan dette skal løses.
Noen som kunne gitt noen gode pekepinner på hvordan dette best gripes an?
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 03/03-2011 14:42
av Nebuchadnezzar
a)
La oss nå anta at [tex]x<2[/tex]
Da har vi likningen
[tex]-2x^4+4x^3=0[/tex]
[tex]x^3(-2x+4)=0[/tex]
[tex]x^3=0 \; \vee \; -2x+4=0[/tex]
osv
Den andre kan man faktorisere ut 3, og får en fin andregradslikning.
c) Derivere funksjonen
[tex]-8x^3+12x^2[/tex]
[tex]4x^2(-2x^3+3[/tex]) osv
Fortegnskjema osv
d) dobbelderivere, fortegnsskjema osv.
e) Tegne grafen burde gå fint når du har gjort de andre.
Lagt inn: 03/03-2011 14:49
av Integralen
Lagt inn: 03/03-2011 14:55
av ambitiousnoob
Tusen takk for svar begge to!
Jeg ble litt usikker på denne:
Nebuchadnezzar skrev:a)
[tex]-2x^4+4x^3=0[/tex]
[tex]x^3(-2x+4)=0[/tex]
[tex]x^3=0 \; \vee \; -2x+4=0[/tex]
.
Hva er det som står i siste linjen, altså hva betyr V`en?
Lagt inn: 03/03-2011 15:30
av Nebuchadnezzar
[tex]\vee[/tex] Er egentlig bare en fancy måte og skrive eller på
om [tex]a\cdot b=0[/tex] vet man at enten så må [tex]a=0[/tex] eller så må [tex]b=0[/tex]
Lagt inn: 04/03-2011 09:07
av ambitiousnoob
Hei igjen!
Sitter fortsatt og sliter litt med c) i denne oppgaven...
Kunne du kanskje utdypet denne ennå litt mer?
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Re: Funksjonsdrøfting
Lagt inn: 04/03-2011 15:06
av MatteNoob
ambitiousnoob skrev:
Funksjonen f er gitt ved:
[tex]f(x)=-2x^4+4x^3\;\; x<2[/tex]
[tex]f(x)=3x^2-18x+24 \;\; x>2[/tex]
c) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter
Vet du hvordan du bruker den deriverte til å finne ekstremalpunkter (bunn-/toppunkter)?
Hvis ikke: Der den deriverte er lik null, har du et ekstremalpunkt. Det er fordi den deriverte gir deg stigningstallet til tangenten i dette punktet. Når stigningstallet er null, er tangenten en rett linje, og dermed har den ingen stigning.
Finn først ekstremalpunktet og bruk deretter det du kan om den deriverte til å undersøke forløpet til den deriverte. Jeg mener at du skal dobbeltderivere for å undersøke hvordan den deriverte oppfører seg i disse ekstremalpunktene.
Som du vet, er en funksjon stigende når den deriverte er positiv og synkende når den deriverte er negativ.
Lagt inn: 04/03-2011 17:00
av Nebuchadnezzar
Jeg kan gjøre første halvdel av c) for deg
Nå ser jeg bare på [tex]3x^2-18x+24[/tex]
Den deriverte gir stigningstallet til funksjonen, og stigningstallet i topp og bunnpunktene er jo null.
[tex]f(x)=3x^2-18x+24 \qquad x>2[/tex]
[tex]f^{\tiny\prime}(x)=6x-18 \qquad\qquad \qquad \qquad x>2[/tex]
Ser vi greit at [tex]f^{\tiny\prime}(x)=0[/tex] når [tex]x=3[/tex]
Så ser vi at [tex]x=3[/tex] er større enn [tex]2[/tex]. Dette er veldig viktig.Siden det er bare da funksjonen er definert. Får vi et nullpunkt som for eksempel var [tex]x=-2[/tex] kunne vi ikke ha brukt det. Vi vet at [tex]x=3[/tex] er enten et saddelpunkt/terrasepunkt. Se på [tex]x^3[/tex] når [tex]x=0[/tex] om du er usikker på hva dette er.
Så ser vi at [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] har negativt stigningstall når [tex]x<3[/tex] og positivt stigningstall når [tex]x>3[/tex]
Det vi kan konkludere med da er at funksjonen synker før [tex]x=3[/tex] og stiger etter [tex]x=3[/tex]. Dermed er [tex]x=3[/tex] et bunnpunkt for funksjonen.
Lagt inn: 05/03-2011 10:11
av ambitiousnoob
Hei takk for et godt svar!
Ok jeg ser den første der. På den andre, prøvde jeg meg litt fram og fant at x=1,5 gir 0 i den likningen, og det oppfyller jo også at x er mindre enn to, så da er vel den òg gyldig. Ser også at da blir det motsatt av det du skriver, her blir x positiv når x<2 og negativ når x>2, så antar at man da har funnet et toppunkt?
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Det jeg fortsatt er litt usikker på er hvordan jeg kunne kommet fram til det ved regning, man står jo igjen med en tredjegradslikning, er det bare da å plotte dette inn på kalkulatoren eller har du en greiere måte å se det på? Faktorisering og fortegnsskjema?
Edit:
På d) så har jeg nå funnet vendepunktene 0,0 og 1,2 utifra det øverste funksjonsuttrykket. Men når man dobbelderiverer det nederste ender man jo opp med f``(x)=6. Hvordan finner man da vendepunktet her?
Lagt inn: 05/03-2011 11:53
av Nebuchadnezzar
[tex]\begin{array}{l}f\left( x \right) = - 2{x^4} + 4{x^3} \\ f^{\tiny\prime}\left( x \right) = - 8{x^3} + 12{x^2} \\ f^{\tiny\prime}\left( x \right) = - 8{x^2}\left( {x - \frac{3}{2}} \right) \\ \end{array}[/tex]
Angående d) Ser jo vi at nederste del er en andregradsfunksjon, og de har ikke noe vendepunkt. Videre kan man jo kalle x=2 et vendepunkt, men litt skeptisk til det siden den ikke er deriverbar der.
Lagt inn: 05/03-2011 12:00
av ambitiousnoob
Hei igjen takk for fremstillingen, hvilket program har du brukt for å tegne grafen der?
I fasiten er 2,0 et vendepunkt så ser ut som du har rett der og!
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Men det er vel sjeldent godt nok å si at man ser at x=2 er et vendepunkt på grafen?