matematikk.net

Sitter og leker meg litt med eksamensoppgaver og kom over funksjonen

[tex]f(x)=5e^{-0.2}\cdot\( cos(x)+sin(x) \)[/tex]

Kan skrive om denne til en ren sinusfunksjon slik

[tex]f(x)=5 sqrt{13}e^{-0.2}\cdot \sin\(x-\arctan\({\frac{2}{3}}\)\) [/tex]

Så tegner vi funksjonen og funksjonene under

[tex]p(x)=5sqrt(y)e^{-0.2x}[/tex] og [tex]q(x)=-5sqrt(y)e^{-0.2x}[/tex]

Her ser vi at [tex]p(x)\le f(x) \le q(x)[/tex] når y=13

Men om vi lar [tex]y=2[/tex] så tangerer funksjonene.

Spørsmålet mitt blir hva skjer her? Hvorfor tangerer disse funksjonene? Og eventuelt hvordan kommer man frem til det "magiske" tallet 2?

Når du setter y=2 så tangerer dem ja, fordi alle tangenter med samme berøringspunkt i en flate ligger vanligvis i ett plan, tangentplanet, i punktet.

og der gikk den opp :p

Om vi har en funksjon på formen f(x)=Ce^{ax}\cdot(cos(x)+sin(x))

vil tangeringslinjene til denne være gitt ved [tex]A=2C^2[/tex]

der [tex]p(C)=-2C^2\cdot e^{ax}[/tex] og [tex]q(C)=2C^2\ cdot e^{ax}[/tex]

Må nok tenke litt mer for funksjoner på formen

[tex]g(x)=Ce^{ax}\cdot(Dcos(x)+Ksin(x))[/tex]

noen tips? Og hvorfor er det slik. Hvorfor kan man finne en eksponentialfunksjon som tangerer funksjonen i alle toppunktene og alle bunnpunktene...?