Integrasjon av trigonometriske funksjoner
Jeg hadde store problemer med hva jeg skulle inkludere i denne artikkelen, og jeg er redd for at den kommer til å bli lang, veldig lang… Men det er så ufattelig mye å ta med når det kommer til integrasjon av trigonometriske funksjoner så jeg bare prøver å inkludere det meste.
Her antar jeg at du har kunnskap til grunnleggende trigonometri, og derivasjon av trigonometriske funksjoner.
Prefiks: Ting DU burde kunne, formler og derivasjon.
Integrasjon av enkle trigonometriske funksjoner
Enkel substitusjon av enkle trigonometriske funksjoner
Sammensatte funksjoner av [tex] \sin(x) [/tex] og [tex] \cos(x) [/tex], og [tex] \tan(x) [/tex] og [tex] \sec(x) [/tex]
Mer kompliserte uttrykk av [tex]\sin(x) [/tex] og [tex]\cos(x) [/tex]
Invers trigonometrisk substitusjon altså med [tex]\arctan(x) [/tex] osv
Et par problemer til slutt
---------------------------------------------
Du bør ha kunnskap til delvis integrasjon, standard integrasjonsformler og substitusjon.
Videre bør du kunne grunnleggende trigonometri godt.
To sider med massevis av informasjon av grunnleggende trigonometri
http://patrickjmt.com/
http://www.khanacademy.org/video/basic- ... y?playlist \, = \, Trigonometry
Mens her ser vi utledningen på de deriverte av grunnleggende trigonometriske funksjoner som sin og cos.
http://www.youtube.com/watch?v \, = \, kCPVBl953eY
Her har vi deriveringen av en del inverse trigonometriske funksjoner som [tex]\arrctan(x) \; , \; \arcsin(x) [/tex] osv.
http://www.google.com/url?sa \, = \, t&source \, = \, web&cd \, = \, 11&ved \, = \, 0CIMBEBYwCg&url \, = \, http%3A%2F%2Fde2de.synechism.org%2Fc6%2Fsec65.pdf&ei \, = \, KkaTTbvfOcWDOqeaiWc&usg \, = \, AFQjCNFdmZLilElXvQKIuyfHe4AE1N8QSA&sig2 \, = \, GjGD3NKm_2RI6XuNBFR_oQ
Viktige formler å kunne!
http://www.sosmath.com/trig/Trig5/trig5/trig5.html
Her er et lite jukseark med de fleste tingene man trenger å kunne… Er en del som mangler, som utledningen av noen arealformler, og funksjoner som [tex] \cos(\arcsin(x)) [/tex] men ellers er den veldig bra. De siste tingene er jo noe man bare kan fylle inn selv.
http://www.google.com/url?sa \, = \, t&source \, = \, web&cd \, = \, 8&ved \, = \, 0CGIQFjAH&url \, = \, http%3A%2F%2Ftutorial.math.lamar.edu%2Fpdf%2FTrig_Cheat_Sheet_Reduced.pdf&ei \, = \, wkeTTZOoCcqbOs7BpYkB&usg \, = \, AFQjCNEvLWNcL6iI6e9Am4tlYFSnDeAGqA&sig2 \, = \, vKOB5Oz594X8fXtHJjd_TQ
http://www.google.com/url?sa \, = \, t&source \, = \, web&cd \, = \, 6&ved \, = \, 0CFUQFjAF&url \, = \, http%3A%2F%2Fwww.eowyn.org%2Fteaching%2FCalculus%2FIdentities.pdf&ei \, = \, wkeTTZOoCcqbOs7BpYkB&usg \, = \, AFQjCNFg5fVY37YtYt7E5p5VUkDJRd3c9g&sig2 \, = \, dY5HvciGHVeDimvQTyDjgw
---------------------------------------------
Så da vi har ryddet det av veien, så skriver jeg oppdelingen av denne artikkelen
Integrasjon av enkle trigonometriske funksjoner
Skriver opp de mest vanlige trigonometriske deriverte, som øyeblikkelig gir oss en del grunnleggende integral.
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {\sin x} \right) \, = \, \cos x \Leftrightarrow \int {\cos x} \, = \, \sin x + C [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( { - \cos x} \right) \, = \, \sin x \Leftrightarrow \int {\sin x} \, = \, - \cos x + C [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) \, = \, \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \, = \, \frac{{\cos x \cdot \cos x - \left( {\sin x} \right) \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{{{\left( {\cos x} \right)}^2}}} \, = \, 1 + {\tan ^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \int {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} dx \, = \, \tan x + C [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) \, = \, \frac{1}{{{{\left( {\cos x} \right)}^2}}}\left( {\cos x \cdot \cos x - \left( {\sin x} \right) \cdot \left( { - \sin x} \right)} \right) \, = \, \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \, = \, {\sec ^2}x \Leftrightarrow \int {{{\sec }^2}x \, = \, \tan x + C} [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {\sec x} \right) \, = \, \sec x\tan x \Leftrightarrow \int {\sec x\tan xdx} \, = \, \sec x + C [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {\cot x} \right) \, = \, - \csc x \Leftrightarrow \int { - \csc xdx} \, = \, \sec x + C [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {\csc x} \right) \, = \, - \csc x\cot x \Leftrightarrow \int { - \csc x\cot xdx} \, = \, \csc x + C[/tex]
Så skriver jeg opp noen grunnleggende omskrivninger og trigonometriske identiteter som kommer godt med videre.
[tex] {\cos ^2}x + {\sin ^2}x \, = \, 1[/tex]
[tex] \sin \left( {2x} \right) \, = \, 2\cos x\sin x[/tex]
[tex][tex][/tex] \cos \left( {2x} \right) \, = \, {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \, = \, 1 - 2{\sin ^2}x \, = \, 2{\cos ^2}x - 1 \\
[tex] \csc x \, = \, 1 + {\cot ^2}x[/tex]
[tex] \sin {\left( {ax} \right)^2} \, = \, \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2ax} \right)} \right) [/tex]
[tex] \sin {\left( {ax} \right)^2} \, = \, \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {2ax} \right)} \right) [/tex]
[tex] \sin \left( {a + b} \right) \, = \, \sin \left( a \right)\cos \left( b \right) + \cos \left( a \right)\sin \left( b \right) [/tex]
[tex] \cos \left( {a + b} \right) \, = \, \cos \left( a \right)\cos \left( b \right) - \sin \left( a \right)\sin \left( b \right) [/tex]
[tex] - \sin \left( x \right) \, = \, \sin \left( { - x} \right) \wedge \cos \left( x \right) \, = \, \cos \left( { - x} \right) [/tex]
[tex] {\sec(x)^2 \, = \, 1 + {\tan(x)^2 [/tex]
Tror det var det viktigste utledningen, den første kommer fra enhetssirkelen, og jeg antar at du klarer å utlede de andre.
La oss ta et eksempel på et pittelitt mer komplisert integral av en grunnleggende funksjon nemlig:
[tex] \int {\tan(x)dx}[/tex]
Det er ikke like rett frem, men la oss skrive om integralet til
[tex] \int{\frac{sin(x)}{cosx}dx} [/tex]
Så kan vi prøve oss med en enkel substitusjon, vi ser her at om vi velger [tex] u \, = \, \sin(x) [/tex]hjelper ikke dette oss så mye for da ender vi opp med:
[tex] \int{\frac{1}{\cos(x)^2}du} [/tex]
Som ikke gjør integralet vår lettere å løse . La oss prøve med [tex] u \, = \, \cos(x) [/tex] og se hva som skjer.
[tex] \int {\tan x} dx \, = \, \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} dx \, = \, \int {\frac{{\sin x}}{u}} \frac{{du}}{{ - \sin x}} \, = \, - \ln \left| u \right| \, = \, \underline{\underline { - \ln \left| {\cos x} \right| + C}} [/tex]
[tex] u \, = \, \cos x,\frac{{du}}{{dx}} \, = \, - \sin x,dx \, = \, \frac{{du}}{{ - \sin x}} [/tex]
Vi ser her at en del trig integral kan enkelt løses med substitusjon. Ofte velger vi u ut i fra identiteter som vi har lært gjennom integrasjon.
Kan vise enda et eksempel på en standard trigonometrisk funksjon som kan rimelig enkelt bli løst med omforming og substitusjon. Nemlig integralet av [tex] \sec(x) [/tex]
[tex] \int {\sec xdx} \, = \, \int {\frac{{\cos x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}} dx \, = \, \int {\frac{{\cos x}}{{1 - {u^2}}}} \frac{{du}}{{\cos x}} \, = \, \int {\frac{1}{{\left( {1 - u} \right)\left( {1 + u} \right)}}} du \, = \, \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{u + 1}} - \frac{1}{{u - 1}}du} [/tex]
[tex] \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {u + 1} \right| - \ln \left| {u - 1} \right|} \right) \, = \, \ln \frac{1}{2}\left| {\frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}}} \right| \, = \, \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2}}}{{ - {{\cos }^2}x}}} \right| \, = \, \underline{\underline {\ln \left| {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right| + C}} [/tex]
[tex][tex][/tex] \sec x \, = \, \frac{1}{{\cos x}} \, = \, \frac{{\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} \, = \, \frac{{\cos x}}{{1 - {{\sin }^2}x}},u \, = \, \sin x,\frac{1}{{1 - u}}\left( {\frac{{ - 1}}{{ - 1}}} \right) \, = \, - \frac{1}{{u - 1}}, - \cos x \, = \, \cos x
Ganger først likningen med [tex] \cos(x) [/tex], skriver om funksjonen ved hjelp av
[tex] cos^2x+sin^2x \, = \, 1. [/tex]
Videre bruker jeg en ganske enkel substitusjon før jeg gjør brøkoppspaltingen. Vil man ha en nøyere gjennomgang kan man se på de foregående postene. [tex] \cot(x) [/tex] og [tex] \scs(x) [/tex] kan bli funnet på akkurat samme måte og. Her unngår jeg og bruke en latterlig komplisert substitusjon som man aldri i livet kommer til å huske, men fokuserer heller på det man har lært. Selv om dette er litt mer tungvindt en magisk substitusjon som gir deg svaret med en gang.
Så da hever vi snittet litt og går i gang med mer kompliserte funksjoner.
Hva skjer om vi har to trigonometriske funksjoner ganget med hverandre? Som eksempelet under:
[tex] \int {\cos x\sin x} dx[/tex]
Det mange vil tenke her er "Herpus Derpus her kan jeg bruke delvis integrasjon" Og det er riktig… Ingen smekk på pungen her. Men vi kan også skrive om integralet for å gjøre ting mye lettere for oss selv. Her velger jeg å vis integralet først med delvis også etterpå via omforming. Når vi snakker om trigonometriske funksjoner blir ting ofte mye lettere om vi omskriver uttrykkene våre før vi integrer. Er også godt å få en oppfrisker av delvis integrasjon ^^
[tex] \int {\cos x\sin x} dx [/tex]
[tex] u \, = \, \cos x,u^{\tiny\prime} \, = \, - \sin x,v^{\tiny\prime} \, = \, \sin x,v \, = \, - \cos x [/tex]
[tex] \int {\cos x\sin x} dx \, = \, \left( {\cos x} \right)\left( { - \cos x} \right) - \int {\left( { - \sin x} \right)\left( { - \cos x} \right)dx}[/tex]
[tex] \int {\cos x\sin x} dx \, = \, - {\cos ^2}x - \int {\cos x\sin xdx} [/tex]
[tex] \int {\cos x\sin xdx} + \int {\cos x\sin x} dx \, = \, - {\cos ^2}x [/tex]
[tex] \underline{\underline {\int {\cos x\sin x} dx \, = \, - \frac{1}{2}{{\cos }^2}x + C}} [/tex]
Ser vi at siden verken u eller v noensinne vil forsvinne så integrer vi til vi får integralet vår igjen på høyre side, flytter over og forenkler. Snakker mer om dette i artikkelen om delvis integrasjon. Men kan vi løse dette problemet annerledes? La oss ta en titt på en artig omskrivning
[tex] \int {\cos x\sin x} dx \, = \, \int {\frac{1}{2}} \sin \left( {2x} \right)dx \, = \, \frac{1}{2}\int {\sin \left( u \right)\frac{{du}}{2} \, = \, \frac{1}{4}\left( { - \cos \left( u \right)} \right) + C \, = \, - \frac{1}{4}\cos \left( {2x} \right) + C} [/tex]
[tex] 2\cos x\sin x \, = \, \sin \left( {2x} \right),\cos \left( {2x} \right) \, = \, {\cos ^2}x - {\sin ^2}x [/tex]
[tex] - \frac{1}{4}\cos \left( {2x} \right) \, = \, - \frac{1}{4}\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) \, = \, - \frac{1}{4}\left( {{{\cos }^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)} \right) \, = \, - \frac{1}{2}{\cos ^2}x + \frac{1}{4} [/tex]
Ser vi at uttrykkene vi får for integralet bare varier med en konstant, og er dermed like. Her ser vi at det ikke er så mye forskjell mellom metodene. Blir uttrykkene mer kompliserte så blir det vanskeligere med delvis integrasjon. Personlig ville jeg brukt Tabular Integration, altså sette opp den deriverte i tabell om uttrykket blir veldig vanskelig. Men skal vise et par omforminger til som er nyttig.
Først ser vi på tilfellet der begge uttrykkene har samme grad
[tex] \, = \, \int {{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} dx [/tex]
[tex] \, = \, \int {{{\left( {\cos x\sin x} \right)}^2}dx} [/tex]
[tex] \, = \, \int {\frac{1}{4}{{\sin }^2}\left( {2x} \right)dx} [/tex]
[tex] \, = \, \frac{1}{4}\int {\frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2 \cdot 2 \cdot x} \right)} \right)dx} [/tex]
[tex] \, = \, \frac{1}{8}\int {1 - \cos \left( {4x} \right)dx} [/tex]
[tex] \, = \, \frac{1}{8}\left[ {x - \int {\cos \left( u \right)\frac{{du}}{4}} } \right] [/tex]
[tex] \underline{\underline { \, = \, \frac{1}{{32}}\left( {4x - \sin \left( {4x} \right)} \right) + C}} [/tex]
Bruker her den veldig fine og enkle trigonometriske identiteten:
[tex] \sin {\left( {ax} \right)^2} \, = \, \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2ax} \right)} \right) [/tex]
Så ja, på slike stykker som dette er det egentlig bare å leke seg. Det man prøver på er å omforme uttrykket slik at det blir enklest mulig å integrere seg. Hvilke omforminger som er "best" kommer dessverre bare med erfaring.
Kan ta enda et eksempel der potensene er ulike:
[tex] \, = \, \int {{{\cos }^2}\left( x \right){{\sin }^3}\left( x \right)} dx [/tex]
[tex] \, = \, \int {{{\cos }^2}\left( x \right)\sin \left( x \right)\left( {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} \right)} dx [/tex]
[tex] \, = \, \int {{u^2}\sin \left( x \right)\left( {1 - {u^2}} \right)} \frac{{du}}{{ - \sin x}} [/tex]
[tex] \, = \, - \int {{u^2} - {u^4}du} [/tex]
[tex] \, = \, - \frac{1}{3}{\left( {\cos x} \right)^3} - \frac{1}{5}{\left( {\cos x} \right)^5} + C [/tex]
[tex] \underline{\underline { \, = \, - \frac{1}{{15}}{{\cos }^3}x\left( {1 - 3{{\cos }^2}x} \right) + C}} [/tex]
Ser vi også at vi kan gjøre ting en del lettere for oss selv om vi gjør noen enkle substitusjoner og. Er egentlig bare å leke seg med identitetene sine.
La oss roe litt ned, ta noen litt enklere funksjoner før vi øker tempoet igjen. Dette kan være litt mye å svelge, og å ta noen forklarende funksjoner kan også være greit.
[tex] \int {\sin {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]
Kunne bare brukt en av identitetene våres her, men la oss se om vi kan i det minste utlede en av de.
[tex] \, = \, \int {\sin {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]
[tex] \, = \, \int {\frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2x} \right)} \right)dx} [/tex]
[tex] \, = \, \frac{1}{2}\int {1 - \cos \left( u \right)\frac{{du}}{2}} [/tex]
[tex] \, = \, \frac{1}{2}\left( {x - \frac{1}{2}\sin \left( {2x} \right)} \right) \, = \, \underline{\underline { - \frac{1}{4}\left( {\sin \left( {2x} \right) - 2x} \right) + C}} [/tex]
[tex] \cos \left( {2x} \right) \, = \, \cos \left( {x + x} \right) \, = \, \cos \left( x \right)\cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\sin \left( x \right) \, = \, \cos {\left( x \right)^2} - \sin {\left( x \right)^2} [/tex]
[tex] \cos \left( {2x} \right) \, = \, \left( {1 - \sin {{\left( x \right)}^2}} \right) - \sin {\left( x \right)^2} [/tex]
[tex] \cos \left( {2x} \right) \, = \, 1 - 2\sin {\left( x \right)^2} \Leftrightarrow \sin {\left( x \right)^2} \, = \, \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2x} \right)} \right) [/tex]
Her drar vi virkelig nytte av identitetene våre og beviser to av dem i samme slengen =)
Da tar vi en pittelitt mer avansert oppgave, som kanskje ikke har en så åpenbar løsning
[tex] \cos \left( {A - B} \right) \, = \, \cos \left( A \right)\cos \left( B \right) + \sin \left( A \right)\cos \left( B \right) [/tex]
[tex] \cos \left( {A + B} \right) \, = \, \cos \left( A \right)\cos \left( B \right) - \sin \left( A \right)\sin \left( B \right) [/tex]
[tex] \sin \left( {A + B} \right) \, = \, \sin \left( A \right)\cos \left( B \right) + \cos \left( A \right)\sin \left( B \right) [/tex]
[tex] \sin \left( {A - B} \right) \, = \, \sin \left( A \right)\cos \left( B \right) - \cos \left( A \right)\sin \left( B \right) [/tex]
[tex] \sin \left( {A + B} \right) - \sin \left( {A - B} \right) \, = \, \left( {\sin \left( A \right)\cos \left( B \right) + \cos \left( A \right)\sin \left( B \right)} \right) - \left( {\sin \left( A \right)\cos \left( B \right) - \cos \left( A \right)\sin \left( B \right)} \right) [/tex]
[tex] \sin \left( {A + B} \right) - \sin \left( {A - B} \right) \, = \, 2\cos \left( A \right)\sin \left( B \right) [/tex]
[tex] \underline{\underline {\cos \left( A \right)\sin \left( B \right) \, = \, \frac{1}{2}\left( {\sin \left( {A + B} \right) - \sin \left( {A - B} \right)} \right)}} [/tex]
Ser at jeg skriver opp sumformlene vi har. Ved hjelp av å legge sammen to av disse identitetene, kommer vi frem til en veldig nyttig formel. De to andre jeg bruker kommer man fram til på samme måten.
[tex] \underline{\underline {\sin \left( A \right)\sin \left( B \right) \, = \, \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {A - B} \right) - \cos \left( {A + B} \right)} \right]}} [/tex]
[tex] \underline{\underline {\cos \left( A \right)\cos \left( B \right) \, = \, \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {A - B} \right) - \cos \left( {A + B} \right)} \right]}}[/tex]
Nå tar vi en oppgave hvor vi virkelig får bruk for dette her.
nemmelig integralet:
[tex] \cos \left( A \right)\sin \left( B \right) \, = \, \frac{1}{2}\left( {\sin \left( {A + B} \right) - \sin \left( {A - B} \right)} \right) [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\cos \left( {5x} \right)\sin \left( {3x} \right)dx} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {5x + 3x} \right) - \sin \left( {5x - 3x} \right)} \right]dx} [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{2}\int {\sin \left( {8x} \right) - \sin \left( {2x} \right)dx} [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{8}\cos \left( {8x} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {2x} \right)} \right] + C [/tex]
[tex] \underline{\underline {I \, = \, \frac{1}{{16}}\left( {4\cos \left( {2x} \right) - \cos \left( {8x} \right)} \right) + C}} [/tex]
Ser vi at disse type integralene går rimelig fint så lenge vi skriver dem om. Denne omskrivningen kan virke litt… Merkelig, men utledningen av den er veldig greit, og derfor valgte jeg å ta den med.
Er ufattelig mye å ta med her… Tror jeg bare skriver litt om tangens og secant integral før jeg går videre til neste del. Så avslutter jeg heller med alle de gøyale spesielle integralene som jeg ikke tar med her.
La oss si at integralet vår ser slik ut som dette [tex] \int {{{\sec(x)^3dx}[/tex]
Viser først hvordan vi gjør det på en litt sneaky måte.
[tex] \int {{{\sec }^3}xdx} \, = \, \int {\sec x \cdot {{\sec }^2}x dx}[/tex]
[tex] u \, = \, \sec x,\frac{{du}}{{dx}} \, = \, \sec x\tan x,v^{\tiny\prime} \, = \, {\sec ^2}x,v \, = \, \tan x [/tex]
[tex] \int {{{\sec }^3}xdx} \, = \, \sec x \cdot \tan x - \int {\sec x\tan x \cdot \tan x} dx[/tex]
[tex] \int {{{\sec }^3}xdx} \, = \, \sec x \cdot \tan x - \int {\sec x\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)} dx[/tex]
[tex] \int {{{\sec }^3}xdx} \, = \, \sec x \cdot \tan x - \left( {\int {{{\sec }^3}x} dx - \int {\sec x} } \right) [/tex]
[tex] 2\int {{{\sec }^3}xdx} \, = \, \sec x \cdot \tan x + \ln \left| {\sec x + \tan x} \right| [/tex]
[tex] \underline{\underline {\int {{{\sec }^3}xdx} \, = \, \frac{1}{2}\left[ {\sec x \cdot \tan x + \ln \left| {\sec x + \tan x} \right|} \right] + C}}[/tex]
Her bruker vi ganske heftig bruk av trig identitetene våre og den deriverte av tangens.
[tex] {\tan ^2}x + 1 \, = \, \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \, = \, \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \, = \, {\sec ^2}x \Leftrightarrow {\tan ^2}x \, = \, {\sec ^2}x - 1 [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) \, = \, \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) \, = \, \frac{{\cos x\cos x - \sin x \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{{{\left( {\cos x} \right)}^2}}} \, = \, \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \, = \, \sec x [/tex]
Integralet ovenfor kan selvfølgelig også løses uten bruk av veldig smarte substitusjoner og slikt, men krever en del mer arbeid. Gir et eksempel under på samme integralet.
[tex] \, = \, \int {{{\sec }^3}x} \, = \, \int {\frac{1}{{{{\cos }^3}x}}} \, = \, \int {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^4}x}}} \, = \, \int {\frac{{\cos x}}{{{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2}}}} \, = \, \int {\frac{{\cos x}}{{{{\left( {1 - {v^2}} \right)}^2}}}\frac{{dv}}{{\cos x}} \, = \, \int {\frac{1}{{{{\left( {1 - {v^2}} \right)}^2}}}dv} } [/tex]
[tex][tex][/tex] \, = \, \int {\frac{1}{{{{\left( {\left( { - 1} \right)\left( {{v^2} - 1} \right)} \right)}^2}}}} dv \, = \, {\int {\left( {\frac{1}{{\left( {{v^2} - 1} \right)}}} \right)} ^2}dv \, = \, {\int {\left( {\frac{1}{2}\frac{1}{{\left( {v - 1} \right)}} - \frac{1}{2}\frac{1}{{\left( {v + 1} \right)}}} [tex] \right)} ^2}dv \, = \, \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{{{\left( {v - 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{\left( {v - 1} \right)\left( {v + 1} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {v + 1} \right)}^2}}}dv} [/tex]
[tex] \, = \, \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{{{\left( {v - 1} \right)}^2}}} - \left( {\frac{1}{{y - 1}} - \frac{1}{{y + 1}}} \right) + \frac{1}{{{{\left( {v + 1} \right)}^2}}}dv} [/tex]
[tex] \, = \, \frac{1}{4}\left[ { - \frac{1}{{v - 1}} - \ln \left| {y - 1} \right| + \ln \left| {y + 1} \right| - \frac{1}{{v + 1}}} \right] \, = \, \frac{1}{4}\left[ { - \frac{{2v}}{{\left( {v + 1} \right)\left( {v - 1} \right)}} + \ln \left| {\frac{{y + 1}}{{y - 1}}} \right|} \right] [/tex]
[tex] \, = \, - \frac{1}{2}\frac{v}{{{v^2} - 1}} + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{y + 1}}{{y - 1}}} \right| \, = \, \frac{1}{2}\frac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}x - 1}} + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}}} \right| \, = \, \frac{1}{2}\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{4}\left| {\frac{{{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right| [/tex]
[tex] \underline{\underline { \, = \, \frac{1}{2}\tan x\sec x + \frac{1}{2}\left| {\tan x + \sec x} \right| + C}} [/tex]
Phew! Noe ganske heftig algebra på slutten der, men ellers var den ikke så altfor problematisk. Hopper over litt mellomregninger som for eksempel brøkoppspaltingen. Men når man blir litt dreven i slike ting, kan man i det minste ta denne oppspaltingen i hodet.
Så ja, hopper like greit til neste integral som ser verre ut enn det egentlig er.
[tex] \int {{{\tan }^3}x} dx \, = \, \int {\tan x{{\tan }^2}xdx} \, = \, \int {\tan x\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)dx} [/tex]
[tex] \int {{{\sec }^2}x\tan x - \int {\tan x} } dx [/tex]
[tex] \int {{{\sec }^2}x \cdot u \cdot \frac{{du}}{{{{\sec }^2}x}} - \int {\frac{{\sin x}}{v}} } \frac{{dv}}{{ - \sin x}} [/tex]
[tex] \frac{1}{2}{u^2} + \ln \left| v \right| + C [/tex]
[tex] \underline{\underline {\frac{1}{2}{{\left( {\tan x} \right)}^2} + \ln \left| {\cos x} \right| + C}} [/tex]
Ser vi at selv om integralene våre ser rimelig skumle ut, blir de lettere om vi skriver om og bruker smarte substitusjoner. Her er det alfa omega å kunne de deriverte av trigonometriske funksjoner på rams, og også de identitetene vi har.
Men hva skjer om vi har en oppgave uten noe trigonometrisk funksjon, kan vi fortsatt bruke trigonometrisk substitusjon ?
Nå svarer du sikkert ja, men det er nok bare fordi jeg spør på denne måten. La oss ta et eksempel!
[tex] \int {\frac{1}{{{x^2} + 1}}dx} [/tex]
Det første jeg tenker når jeg ser sette integralet er substitusjon og delbrøkoppspalting. Her ser vi raskt at ingen av disse metodene fører frem. Videre legger jeg merke til nevner som ligner veldig på en trigonometrisk identitet. Ser du hvilken? (hint tangens)
[tex][tex][/tex] x^2 + 1 ligner veldig på [tex] \tan(x)^2+1 \, = \, \sec(x)^2. [/tex]
Så la oss bare prøve oss på en substitusjon der [tex] x \, = \, \tan(u) [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{{x^2} + 1}}dx} \, = \, \int {\frac{1}{{\tan {{\left( u \right)}^2} + 1}}} {\sec ^2}\left( u \right)du \, = \, \int {1{\rm{ du}} \, = \, u + C \, = \, \underline{\underline {\arctan \left( x \right) + C}} } [/tex]
[tex] x \, = \, \tan \left( u \right),\frac{{dx}}{{du}} \, = \, {\sec ^2}\left( u \right),dx \, = \, {\sec ^2}\left( u \right)du,\arctan \left( x \right) \, = \, u [/tex]
Kanskje litt mystisk den der… Men generelt sier vi at
[tex] \int {\frac{1}{{{a^2} + {x^2}}}dx} [/tex]
[tex] x \, = \, a\tan \left( u \right),dx \, = \, a{\sec ^2}\left( u \right)du [/tex]
[tex] u \, = \, \arctan \left( {\frac{x}{a}} \right) [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{{a^2} + {x^2}}}dx} \, = \, \int {\frac{1}{{{a^2} + {{\left( {a\tan u} \right)}^2}}}} a{\sec ^2}\left( u \right)du \, = \, \int {\frac{{a\sec {{\left( u \right)}^2}}}{{{a^2}\sec {{\left( u \right)}^2}}}{\rm{ du}} \, = \, \frac{u}{a} + C \, = \, \underline{\underline {\arctan \left( {\frac{x}{a}} \right) + C}} } [/tex]
La oss ta noen få eksempler til, med lignende funksjoner. Er litt mystisk dette enda, men egentlig så bare substituerer vi med enkle trigonometriske uttrykk som vi håper kan forenkle integralet vår. Denne med tangens kan vi også gå andre veien, nemlig vise hva den deriverte av [tex] \arctan(x) [/tex] er for noe.
La oss ta noen eksempler til før vi beveger oss videre.
[tex] \int {\frac{1}{{1 - 4{x^2}}}dx \, = \, \int {\frac{1}{{1 - {{\left( {2x} \right)}^2}}}dx\int {\frac{1}{{1 - u}}\frac{{du}}{2}} \, = \, \frac{1}{2}\arctan \left( u \right) \, = \, \underline{\underline {\frac{1}{2}\arctan \left( {2x} \right) + C}} } } [/tex]
Ser at vi gjør en smart substitusjon før vi får integralet vårt over på den formen vi vil ha. Ofte tar vi ikke med den siste substitusjonen, men vi definerer at integralet av [tex] \frac{1}{1-x^2}[/tex] er [tex] \arctan(x) [/tex]. På samme måte som vi definerer at integralet av \[tex] frac{1}{x}[/tex] til å være [tex] \ln(x) [/tex]
La oss ta enda et eksempel… Blir ganske mange eksempler her, men det er bare ting vi må igjennom…
[tex] \, = \, \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} [/tex]
[tex] x \, = \, a\sin \left( u \right){\rm{ }}u \, = \, \arcsin \left( {\frac{x}{a}} \right) [/tex]
[tex] \frac{{dx}}{{du}} \, = \, a\cos \left( u \right){\rm{ }}dx \, = \, a\cos \left( u \right)du [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} \, = \, \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {a\sin \left( u \right)} \right)}^2}} }}a\cos \left( u \right)du} [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} \, = \, \int {\frac{{a\cos \left( u \right)}}{{\sqrt {{a^2}\left( {1 - {{\sin }^2}\left( u \right)} \right)} }}du} [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} \, = \, \int {1 \cdot du} [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} \, = \, u + C [/tex]
[tex] \underline{\underline {\int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} \, = \, \arcsin \left( {\frac{x}{a}} \right) + C}} [/tex]
Ser vi at vi gjør en lignende substitusjon fordi vi ser at [tex] 1-\sin(x)^2 \, = \, \cos(x)^2[/tex]. I det minste gjør denne substitusjonen mening for min del. Tar enda et par utledninger som kan være grei og ha. Har vi for eksempel uttrykket
[tex] \, = \, \int {\frac{1}{{{x^2} - {a^2}}}dx} [/tex]
Så kan vi bare bruke delvis integrasjon og slippe å bruke trigonometriske identiteter.
Generelt sier vi at om integralet vårt inneholder
[tex] a^2 - x^2 [/tex]
Så bruker vi substitusjonen [tex] x \, = \, a \sin(u) [/tex] og identiteten [tex] 1-\sin(u)^2 \, = \, \cos(u)^2[/tex]
[tex] a^2 + x^2[/tex]
Så bruker vi at [tex][tex][/tex] x \, = \, a\tan(u) og identiteten [tex][tex][/tex] 1+\tan(u)^2 \, = \, \sec(u)^2
[tex] x^2 - a^2[/tex]
Her kan vi bruke delvis integrasjon, eller at [tex][tex][/tex] x \, = \, a\sec(u) og at [tex] sec(u)^2-1 \, = \, \tan(u)^2[/tex]
Tror det var det… Kan ta et lite eksempel til før jeg begynner på en del vanskeligere integral…
[tex] I \, = \, \int {\sqrt {25 - {x^2}} dx} \, = \, \int {\sqrt {{5^2} - {x^2}} dx} [/tex]
[tex] x \, = \, 5\sin \left( u \right),\frac{{dx}}{{du}} \, = \, 5\cos \left( u \right){\rm{,}}u \, = \, \arcsin \left( {\frac{x}{5}} \right) [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\sqrt {{5^2} - {{\left( {5\sin \left( u \right)} \right)}^2}} du \cdot } 5\cos \left( u \right) [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\sqrt {{5^2}\left( {1 - \sin {{\left( u \right)}^2}} \right)} du \cdot } 5\cos \left( u \right) [/tex]
[tex] I \, = \, \int {25{{\cos }^2}\left( u \right)du} [/tex]
[tex] I \, = \, 25\int {\frac{{1 + \cos \left( {2u} \right)}}{2}} du [/tex]
[tex] I \, = \, 25\left[ {\frac{1}{2}u + \frac{1}{4}\sin \left( {2u} \right)} \right] [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{{25}}{2}\left[ {u + \cos \left( u \right)\sin \left( u \right)} \right] [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{{25}}{2}\left[ {\arcsin \left( {\frac{x}{5}} \right) + \cos \left( {\arcsin \left( {\frac{x}{5}} \right)} \right) \cdot \sin \left( {\arcsin \left( {\frac{x}{5}} \right)} \right)} \right] [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{{25}}{2}\left[ {\arcsin \left( {\frac{x}{5}} \right) + \sqrt {1 - {{\left( {\frac{x}{5}} \right)}^2}} \cdot \frac{x}{5}} \right] [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{{25}}{2}\left[ {2\arcsin \left( {\frac{x}{5}} \right) + \frac{x}{5} \cdot \frac{{\sqrt {25 - {x^2}} }}{5}} \right] [/tex]
[tex] \underline{\underline {I \, = \, \frac{1}{2}\left[ {25\arcsin \left( {\frac{x}{5}} \right) + x\sqrt {25 - {x^2}} } \right] + C}} [/tex]
Nå begynner ting å bli litt mer kompliserte… Eller er egentlig ikke så mye mer komplisert er bare at utregningene våre tar lengre tid. Her bruker vi "regelen" vi satte opp før om [tex] a^2\,-\,x^2. [/tex]
Så… La oss endelig se på noen artige oppgaver! Kommer bare til å løse en grøsselion kompliserte oppgaver. Slik at man ser de fleste vanlige omskrivninger og slikt. Første "nye" metode vil være og fullføre kvadratet.
[tex] \int {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + 5}}} dx[/tex]
Her er det veldig lite som tyder på at vi har et integral som kan løses med trigonometriske identiteter. Det som kan gi oss et hint her er at nevneren ikke kan faktoriseres. I det minste ikke når vi ikke vil ha komplekse tall. Så det vi prøver på er å faktorisere nevner til et perfekt kvadrat, vist under.
[tex] \int {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + 5}}} dx [/tex]
[tex] \int {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + 1 - 1 + 5}}} dx [/tex]
[tex] \int {\frac{{x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}}} dx [/tex]
[tex] u \, = \, x - 1,\frac{{du}}{{dx}} \, = \, 1,du \, = \, dx,x \, = \, u + 1 [/tex]
[tex] \int {\frac{{x - 2}}{{{u^2} + 4}}} du \, = \, \int {\frac{{u + 1}}{{{u^2} + 4}}} du [/tex]
[tex] \int {\frac{u}{{{u^2} + 4}} + \frac{1}{{{u^2} + {2^2}}}} du [/tex]
[tex] \frac{1}{2}\ln \left| {{u^2} + 4} \right| + \arctan \left( {\frac{u}{2}} \right) [/tex]
[tex] \frac{1}{2}\ln \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} \right| + \arctan \left( {\frac{{x - 1}}{2}} \right) [/tex]
[tex] \underline{\underline {\int {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + 5}}} dx \, = \, \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - 2x + 5} \right| + \arctan \left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}} \right) + C}} [/tex]
Går rimelig greit, her ser vi eksempelet med å fullføre kvadratet under brøken. Deler så opp integralet og bruker noen kjekke integrasjonsformler. Det første leddet bruker vi substitusjon for å løse, men det har jeg vist mange ganger før og følte meg lat. Så en oppvakt leser kan nok klare å løse det uten videre problemer. Tar noen kreative oppgaver til, hvor vi trenger litt forskjellige metoder.
[tex] \int {\cos {{\left( u \right)}^4} - \sin {{\left( u \right)}^4}du} [/tex]
Når vi ser slike uttrykk så er det lureste å ikke begynne å gråte og spille banjo eller begynne med endeløse integral. Her skriver vi om funksjonene våre og ser hva vi får. Forhåpentligvis blir ting lettere.
[tex] \int {\cos {{\left( u \right)}^4} - \sin {{\left( u \right)}^4}du} [/tex]
[tex] \cos {\left( u \right)^4} \, = \, \cos {\left( u \right)^2}\cos {\left( u \right)^2} \, = \, \cos {\left( u \right)^2}\left( {1 - \sin {{\left( u \right)}^2}} \right) \, = \, \cos {\left( u \right)^2} - \cos {\left( u \right)^2}\sin {\left( u \right)^2} [/tex]
[tex] \sin {\left( u \right)^4} \, = \, \sin {\left( u \right)^2}{\sin ^2}\left( u \right) \, = \, \sin {\left( u \right)^2}\left( {1 - \cos {{\left( u \right)}^2}} \right) \, = \, \sin {\left( u \right)^2} - \cos {\left( u \right)^2}\sin {\left( u \right)^2} [/tex]
[tex] \int {\cos {{\left( u \right)}^4} - \sin {{\left( u \right)}^4}du} \, = \, \int {\cos {{\left( u \right)}^2} - \sin {{\left( u \right)}^2}} du{\rm{ }}! [/tex]
[tex] \int {\cos {{\left( u \right)}^4} - \sin {{\left( u \right)}^4}du} \, = \, \int {\cos \left( {2x} \right)} du [/tex]
[tex] \underline{\underline {\int {\cos {{\left( u \right)}^4} - \sin {{\left( u \right)}^4}du} \, = \, \frac{1}{2}\sin \left( {2x} \right) + C}} [/tex]
Ser vi at ved å skrive om integralet vårt ble det mye lettere. Vi utledet også enda en identitet. Om du lurer på denne siste omskrivningen er den også veldig lett å vise.
Bare å bruke sumformelen, nemlig at.
[tex] \cos(A+B) \, = \, \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) [/tex]
Der [tex] A \, = \, x[/tex] og [tex] B \, = \, x [/tex]
Tar et par til integral jeg…
[tex] \int {{e^y}\cos \left( y \right)\sin \left( y \right)} dy[/tex]
Ser rimelig fælt ut ikke sant? Joda vi orker ikke så veldig komplisert delvis integrasjon så vi skriver om uttrykket igjen.
[tex] I \, = \, \int {{e^y}\cos \left( y \right)\sin \left( y \right)} dy [/tex]
[tex] I \, = \, \int {{e^y}\frac{1}{2}\sin \left( {2y} \right)} dy [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{2}\int {{e^y}\sin \left( {2y} \right)} dy [/tex]
[tex] \int {uv^{\tiny\prime}} \, = \, uv - \int {u^{\tiny\prime}v} {\rm{ }} [/tex]
[tex] u \, = \, \sin \left( {2y} \right),u^{\tiny\prime} \, = \, 2\cos \left( {2y} \right),v^{\tiny\prime} \, = \, {e^y},v \, = \, {e^y} [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {2y} \right){e^y} - \int {2\cos \left( {2y} \right){e^y}dy} } \right] [/tex]
[tex] u \, = \, 2\cos \left( {2y} \right),u^{\tiny\prime} \, = \, - 4\sin \left( {2y} \right),v^{\tiny\prime} \, = \, {e^y},v \, = \, {e^y} [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {2y} \right){e^y} - \left( {2\cos \left( {2y} \right){e^y} - \int { - 4\sin \left( {2y} \right){e^y}dy} } \right)} \right] [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {2y} \right){e^y} - 2\cos \left( {2y} \right){e^y} - 4\int {\sin \left( {2y} \right){e^y}dy} } \right] [/tex]
[tex] 2\int {\sin \left( {2y} \right){e^y}dy} + \frac{1}{2}\int {{e^y}\sin \left( {2y} \right)} dy \, = \, \frac{1}{2}\sin \left( {2u} \right){e^y} - \cos \left( {2y} \right){e^y} [/tex]
[tex] \frac{5}{2}\int {\sin \left( {2y} \right){e^y}dy} \, = \, \frac{1}{2}{e^y}\left( {\sin \left( {2u} \right) - 2\cos \left( {2y} \right)} \right) [/tex]
[tex] \underline{\underline {\int {\sin \left( {2y} \right){e^y}dy} \, = \, \frac{1}{{10}}{e^y}\left[ {\sin \left( {2u} \right) - 2\cos \left( {2y} \right)} \right]}} [/tex]
Ser at vi først må omskrive integralet vårt før vi kan bruke delvis integrasjon to ganger. Så ser jeg at jeg har samme integral på høyre og venstre side… Flytter over alle like integralgreier på venstre side og trekker sammen.
Må ha tungen beint i munnen på den delvise integrasjonen, og på selve algebraen.
La oss se på et par sammensatte funksjoner, funksjonen under krever et lite triks. Senere kommer vi til å se nærmere på denne funksjonen, men for nå holder det å integrere denne godbiten.
[tex] \int {\cos(\ln(x))\right)du} [/tex]
Prøver vi oss med noen trigonometriske omskrivningen kommer vi ingen vei her. Gjør en smart substitusjon og en omskrivning av x. Denne omskrivingen kan være lur å skrive seg bak øret, da man mange ganger kan få bruk for denne.
[tex] \int {\cos \left( {\ln x} \right)dx} [/tex]
[tex] y \, = \, \ln x \Rightarrow {e^y} \, = \, x [/tex]
[tex] \frac{{dy}}{{dx}} \, = \, \frac{1}{x} \Rightarrow dx \, = \, x \cdot dy [/tex]
[tex] \, = \, \int {\cos \left( y \right)x \cdot dy} [/tex]
[tex] \, = \, \int {{e^y}\cos \left( y \right)dy} [/tex]
[tex] u \, = \, \cos \left( y \right),u^{\tiny\prime} \, = \, - \sin \left( y \right),v \, = \, {e^y},v^{\tiny\prime} \, = \, {e^y} [/tex]
[tex] \int {{e^y}\cos \left( y \right)dy} \, = \, \cos \left( y \right){e^y} - \int { - \sin \left( y \right){e^y}dy} [/tex]
[tex] \int {{e^y}\cos \left( y \right)dy} \, = \, \cos \left( y \right){e^y} + \int {\sin \left( y \right){e^y}} dy [/tex]
[tex] u \, = \, \sin \left( y \right),u^{\tiny\prime} \, = \, \cos \left( y \right),v \, = \, {e^y},v^{\tiny\prime} \, = \, {e^y} [/tex]
[tex] \int {{e^y}\cos \left( y \right)dy} \, = \, \cos \left( y \right){e^y} + \left( {\sin \left( y \right){e^y} - \int {\cos \left( y \right){e^y}dy} } \right) [/tex]
[tex] 2\int {{e^y}\cos \left( y \right)dy} \, = \, \cos \left( y \right){e^y} + \sin \left( y \right){e^y} [/tex]
[tex][tex][/tex] \int {{e^y}\cos \left( y \right)dy} \, = \, \frac{1}{2}{e^y}\left( {\cos \left( y \right) + \sin \left( y \right)} \right)
[tex] \underline{\underline {\int {\cos \left( {\ln x} \right)dx} \, = \, \frac{1}{2}x\left( {\cos \left( {\ln \left| x \right|} \right) + \sin \left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right)}} [/tex]
Så ja… Det var det integralet, føler jeg har dekket en god del av de forskjellige trigonometriske integralene man kan møte. Tror jeg kan fiske frem en siste oppgave som ikke er helt normal
[tex] I \, = \, \int {\frac{{\sqrt {x - {x^2}} }}{x}dx} [/tex]
[tex] \underline {{u^2} \, = \, \frac{{x - {x^2}}}{{{x^2}}}} \, = \, \frac{1}{x} - 1,\frac{1}{x} \, = \, {u^2} + 1 \Rightarrow \underline {x \, = \, \frac{1}{{{u^2} + 1}}} [/tex]
[tex] 2u du \, = \, - \frac{1}{{{x^2}}}dx,dx \, = \, - 2u \cdot {x^2}du [/tex]
[tex] I \, = \, \int {u \cdot \left( { - 2u \cdot {{\left( {\frac{1}{{{u^2} + 1}}} \right)}^2}} \right)du} [/tex]
[tex] I \, = \, - 2\int {\frac{{{u^2}}}{{{{\left( {{u^2} + 1} \right)}^2}}}du} [/tex]
[tex] u \, = \, \tan \left( t \right),\frac{{du}}{{dt}} \, = \, 1 + \tan {\left( t \right)^2},du \, = \, 1 + \tan {\left( t \right)^2}dt [/tex]
[tex] I \, = \, - 2\int {\frac{{\tan {{\left( t \right)}^2}}}{{{{\left( {\tan {{\left( t \right)}^2} + 1} \right)}^2}}}\left( {1 + \tan {{\left( t \right)}^2}dt} \right)} [/tex]
[tex] I \, = \, - 2\int {\frac{{\tan {{\left( t \right)}^2}}}{{\left( {\sec {{\left( x \right)}^2}} \right)}}dt} [/tex]
[tex] I \, = \, - 2\int {\cos {{\left( t \right)}^2} \cdot \frac{{\sin {{\left( t \right)}^2}}}{{\cos {{\left( t \right)}^2}}}dt} [/tex]
[tex] I \, = \, - 2\int {\sin {{\left( t \right)}^2}dt} [/tex]
[tex] I \, = \, - 2\int {\frac{{\left( {1 - \cos \left( {2t} \right)} \right)}}{2}dt} [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{2}\sin \left( {2t} \right) - t + C [/tex]
[tex] I \, = \, \cos \left( t \right)\sin \left( t \right) - t + C [/tex]
[tex] I \, = \, \cos \left( {\arctan \left( u \right)} \right)\sin \left( {\arctan \left( u \right)} \right) - \arctan \left( u \right) + C [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{1}{{\sqrt {{u^2} + 1} }} \cdot \frac{u}{{\sqrt {{u^2} + 1} }} - \arctan \left( u \right) + C [/tex]
[tex] I \, = \, \frac{u}{{{u^2} + 1}} - \arctan \left( u \right) + C [/tex]
[tex] \frac{u}{{{u^2} + 1}} \, = \, \frac{{\sqrt {\frac{{x - {x^2}}}{{{x^2}}}} }}{{\left( {\frac{{x - {x^2}}}{{{x^2}}}} \right) + 1}} \, = \, \sqrt {\frac{{x - {x^2}}}{{{x^2}}}} :\left( {\frac{x}{{{x^2}}}} \right) \, = \, x\sqrt {\frac{{x - {x^2}}}{{{x^2}}}} \, = \, \sqrt {\frac{{{x^2}\left( {x - {x^2}} \right)}}{{{x^2}}}} \, = \, \sqrt {x - {x^2}} [/tex]
[tex] \underline{\underline {I \, = \, \sqrt {x - {x^2}} - \arctan \left( {\sqrt {\frac{1}{x} - 1} } \right) + C}} [/tex]
Ser vi at vi gjør først litt algebra magi også en smart substitusjon før integralet forenkler seg ganske mye. Det meste her tror jeg leser henger med på, men kanskje ikke fra linje 5 til 4 fra bunnen. Her har vi noe cosinus og inverstangens opplegg som bare gjør ting mer komplisert.
Hvordan kommer vi frem til hva [tex] \cos(\arctan(x)) [/tex] er for noe? Jo, la oss først tegne en trekant.
Trekant her er rettvinklet. Vi velger sider slik at tangens blir x. Det finnes mange måter å gjøre dette på, men vi velger den letteste.
[tex] \tan(x) \, = \,\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\, = \,\frac{x}{1}\, = \,x[/tex]
Så nå er [tex] \tan(\theta ) \, = \, x[/tex] flott! Dette fører til at [tex]x \, = \, \arctan(\theta)[/tex]
Videre ser vi nå at [tex] \cos(\theta)\, = \, \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\, = \,\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]
og
[tex] \sin(\theta)\, = \, \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\, = \,\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Dermed vet vi at
[tex] \cos(\arctan(x))\, = \,\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex] og [tex] \sin(\arctan(x))\, = \,\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Alle slike identiteter kan lett bli utledet ved å tegne smarte trekanter.
http://oakroadsystems.com/twt/inverse.htm
Her er det blitt gjort allerede. Men jeg husker ikke alle disse i hodet, så jeg tegner trekanter =)
Det var det, jeg kan ikke komme på noen flere trigonometriske triks eller metoder. Resten er bare øving. Som vanlig kommer det en haug med oppgaver her, noen lette, noen middels, og noen gråte og spille banjo vanskelige.
Det som er viktig å huske på er at jeg har i dette innlegget vist METODER. Jeg har prøvd å unngå (Selv om det er tilnærmert umulig) og si at om integralet ser slik ut MÅ du løse det slik. Tror at omtrent alle integralene jeg har løst her kan bli løst på en alternativ måte. Det jeg gjør er at jeg bruker integralene til å fremheve METODER. Så under er en del integraler som ligner en del på de jeg har skrevet om. Har prøvd å velge en del som ser ulike ut, men kan bli løst på omtrent samme metode. Så bare lek deg med integralene under det er ikke en bestemt måte å løse de fleste på =)
---------------------------------
[tex] y \, = \, \int {\frac{1}{{\sqrt {9 - {t^2}} }}} dt{\rm{ bestem C n{\aa}r y}}\left( 5 \right) \, = \, \ln \left( 3 \right) [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{1}{{\tan \left( x \right)}}dx} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {{e^{ax}}\cos \left( {{e^{ax}}} \right)\sin \left( {{e^{ax}}} \right)dx} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\tan \left( {5u} \right){\rm{ }}} du [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{{\sqrt {a - {\beta ^2}} }}{{{\beta ^2}}}d\beta } [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\sqrt {{e^{2y}} - 1} dy} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\sqrt {1 - 9{t^2}} dt} {\rm{ }} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 5} }}dx} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x + 1}}dx} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{{\cos \left( t \right)\ln \left( {\sin t} \right)}}{{\sin t}}} dt [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{{\sin \left( x \right) - \cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)}}} dx [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{{\sin \left( {ax} \right) - \cos \left( {ax} \right)}}{{\sin \left( {ax} \right) + \cos \left( {ax} \right)}}} dx [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\sin \left( {ax} \right)\cos \left( {\left( {a + 2} \right)x} \right)} dx [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{1}{{k\sqrt {{k^2} + 1} }}dk} [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\frac{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{{e^{ - x}} + \sin \left( x \right)}}} dx [/tex]
[tex] I \, = \, \int {\sqrt {\tan x} dx} [/tex]
), men når du først forstår det er det et utrolig spennende felt, og her lærer du mange finurlige og artige metoder til å løse integraler som ved første øyekast virker "umulig" å løse med standardmetodene du lærer på vgs og første året på universitetet. 
