matematikk.net

Hola!

Funderer på dette stykket:

[tex]\int_{}^{}{\left( x^{2}+\; \left| x^{3}-x^{2}-2x \right|\; \right)}[/tex]

Hvordan skal en funksjon som dette behandles?

Mvh.

Hmm..
Jeg har faktisk aldri løst et slikt stykke før. Men det virker intuitivt for meg at du må finne nullpunktene til annengradslikningen (Faktoriser ut en x) og sette opp grensene slik at man alltid får et positivt integral.

Gitt at det er et bestemt integral - gjør det tingene annerledes?

Ja, da kan du bruke definisjonen på absoluttverdien.

[tex]|x| = \left\{\begin{matrix}x & \rm{hvis}\;x\geq0\\ -x & \rm{hvis}\;x<0\end{matrix}[/tex]

Jeg kan tenkte meg integralet ditt går fra -a til b. Da setter du det opp slik:

[tex]\int_{-a}^bf(x)dx = \int_{-a}^0f(x)dx + \int_{0}^bf(x)dx[/tex]

også kvitter du deg med absoluttverdi-tegnet ved å bruke definisjonen.

Grensen er fra -2 til 3, men jeg er virkelig ikke sikker på hvordan man behandler det som er i absoluttverdiklammene. Kunne noen gitt meg en pekepinn?

[tex]|f(x)| = \left\{\begin{matrix}f(x) & \rm{hvis}\;f(x)\geq0\\ -f(x) & \rm{hvis}\;f(x)<0\end{matrix}[/tex]

For deg er:
f(x) = x[sup]3[/sup] - x[sup]2[/sup] - 2x

Finn ut når denne funksjonen er større eller mindre enn null i intervallet [-2,3] (f.eks ved å finne nullpunkter, sette opp fortegnsskjema), del opp integralet ditt over de intervallene og bruk definisjonen av absoluttverdien jeg ga over.

Takk for svar. Det er riktignok definisjonen jeg har litt problemer med å forstå.

Hvis jeg setter inn funksjonen på kalkulatoren kan jeg sette x^2 + abs((x^3)-(x^2)-2x) og regne ut arealet under grafen? Blir dette riktig svar?

Når jeg regner ut for hånd står jeg igjen med 15.25 - er dette riv ruskende gale?

Du er ikke så langt unna, men det skal bli 91/4 = 22.75
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... om+-2+to+3
(Kopier hele lenken)

Hvordan delte du opp integralet?

Ja, riktig - det er den samme grafen som jeg sitter med på kalkulatoren, men ikke klarer å gjengi på papiret.

Jeg har regnet ut at skjæringspunktene er henholdsvis -1, 0 og 2. Deretter er skjæringspunktene for hele funksjonen (inkl. absoluttverdien) -1, -[symbol:rot] 2, 0, [symbol:rot] 2, 2.

Deretter regnet jeg ut de forskjellige intervallene og summerte. Er det feil?

Skjønte ikke helt hvorfor du regnet ut skjæringspunktene til hele funksjonen.

Du fant riktige nullpunkter. De bruker du til å dele opp integralet:
[tex]\int_{-2}^3g(x)dx = \int_{-2}^{-1}g(x)dx + \int_{-1}^{0}g(x)dx + \int_{0}^{2}g(x)dx + \int_{2}^{3}g(x)dx[/tex]

Se på f(x) fra -2 til -1. Hva er verdien i absoluttverdien her? Du kan se på fortegnsskjema eller sette inn et tall i intervallet og ser om det er positivt eller negativt.

[tex]f(-1.5) = (-1.5)^3 - (-1.5)^2 - 2(-1.5) = -2.625[/tex]

Det er negativt! Hvis du ser på definisjonen av absoluttverdien for f(x), så blir det da negativt fortegn på det innenfor absoluttverdien!

I [-2,-1] blir derfor:
[tex]|x^3 - x^2 - 2x| = -x^3 + x^2 + 2x[/tex]

Da får du:
[tex]\int_{-2}^{-1}g(x)dx \;=\; \int_{-2}^{-1}x^2 -x^3 + x^2 + 2xdx \;=\; \int_{-2}^{-1} -x^3 + 2x^2 + 2xdx[/tex]

Og du gjør det samme i de andre intervallene du får. Er du enig?