matematikk.net

Treng hjelp til 8.233 d) i coSinusboka R1

Finn vendepunktet til f ved rekning.

skal dobbelderivere funksjonen:

f (x) = ln x - (lnx)^2

Har funne den deriverte, men slit litt med dobbelderiverte.

f' (x) = 1-2(lnx)
x

Her kan du enten bruke kvotientregelen eller produktregelen. Kjenner du til disse?

Kom til denne selv... Oppgaven hører til stoffet som er før gjennomgangen av kvotient og produktregel, så jeg så for meg at den skulle kunne løses uten disse, men kun ved hjelp av kjerneregelen....

Derimot har jeg nå prøvd både med produkt og kvotientregel, men får fortsatt ikke riktig svar for f''(x)=0 i forhold til fasiten som gir x=e^(3/2)...

Skal vi se... Har sett litt nærmere på denne nå, og funnet at kvotientregelen gir riktig svar, nemlig:

[tex]f^{,,}(x)=\frac{2\ln x-3}{x^2}[/tex]

Men i hele sinus-verket har jeg ikke tidligere sett at man trenger å kunne stoff fra senere underkapittler en det som oppgaven er basert på innenfor kategori 2... Kanskje dette er unntaket eller en glipp, men jeg har på følelsen at det skal gå an å løse denne på en annen måte, uten kvotient... har med diverse alternative fremgangsmåter fått foreks:

produktregel på andre leddet:

[tex]f^{,,}(x)=\frac{2\ln x+1}{x^2}[/tex]

Kjerneregel (2 i dybden):

[tex]f^{,,}(x)=\frac{4\ln x-2}{x^3}[/tex]

Kjerneregel (kun på det andre leddet):

[tex]f^{,,}(x)=\frac{2\ln x-x}{x^3}[/tex]

Disse gir alle feil svar..., noen med input?

[tex]f(x) = \ln x - \ln^2 x[/tex]

Finner den deriverte vha produktregelen (evt. kjerneregelen).

[tex]f\prime(x) = \frac 1x - 2\frac 1x \cdot \ln x = \frac{1 - 2\ln x}{x}[/tex]

Finner den dobbeltderiverte vha kvotientregelen (evt. produktregelen).

[tex]f\prime\prime(x) = \frac{-\frac{2}{\cancel x} \cdot \cancel x - (1-2\ln x)}{x^2} = \frac{2\ln x -3}{x^2} [/tex]

Finner vendepunktet ved å sette

[tex]f\prime\prime(x) = 0[/tex]

og løser mhp x.

[tex]\frac{2\ln x -3}{x^2} = 0[/tex]

[tex]\ln x = \frac 32[/tex]

[tex]x = e^{3/2}[/tex]

Ser noen svarte mens jeg skrev innlegget.
Her er i hvert fall utregningen av den deriverte uten kvotientregelen.

Funksjonen.
[tex]f(x) = \ln x - (\ln x)^2[/tex]

Deriverer.
[tex]\begin{align*}\vspace{20cm}f^{\tiny\prime}(x) &= \frac{1}{x} - 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\\\vspace{20cm}&= \frac{1 - 2\ln x}{x}\\&= x^{-1} - 2x^{-1}\ln x\end{align*}[/tex]

Denne deriverer du uten kvotientregelen. Litt mellomregning (produktregelen):
[tex]\begin{align*}\vspace{20cm}\big(x^{-1}\ln x\big)^\prime \,&=\, -x^{-2}\ln x \,+\, x^{-1}x^{-1}\\\vspace{20cm}&=-\frac{\ln x}{x^2} + \frac{1}{x^2}\\\ &= \frac{1-\ln x}{x^2}\end{align*}[/tex]

(Husk å gange resultatet fra mellomregningen med 2).

[tex]\begin{align*} f^{\tiny\prime\prime}(x) \,&=\vspace{20cm}\, -x^{-2} - \frac{2- 2\ln x}{x^2}\\ &=\vspace{20cm} -\frac{1}{x^2} + \frac{2\ln x-2}{x^2}\\&=\frac{2\ln x - 3}{x^2}\end{align*}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{1 - 2\ln x}{x}[/tex]

Finner den dobbeltderiverte vha produktregelen. Skriver først om funksjonen til:

[tex]f\prime(x) = (1-2\ln x)\cdot x^{-1}[/tex]

og deriverer

[tex]f\prime\prime(x) = -2 \frac 1x \cdot x^{-1} + (1-2\ln x) \cdot (-1)\cdot x^{-1-1} = \frac{-2x^{-1}}{x} - (1-2\ln x) \cdot x^{-2} = [/tex]

[tex] \frac{-2}{x^2} - \frac{1-2\ln x}{x^2} = \frac{-2 - (1-2\ln x}{x^2} = \frac{2\ln x - 3}{x^2}[/tex]

Som er identisk.

Markonan skrev:Ser noen svarte mens jeg skrev innlegget.
Her er i hvert fall utregningen av den deriverte uten kvotientregelen.

Lite å finne på om natta, vettu, hehehe. Du også? :]

Jepp. Har eksamen på fredag (siste ordentlige matte-eksamen jeg noensinne vil ha!), så da blir det lange netter.

Det er vel nesten litt vemodig? Er du ferdig med studiene nå eller?

Selv skulle jeg egentlig lest til eksamen i noe så lite trivielt som organisasjonsatferd og ledelse, men veien til matematikk.net er for kort. (Men her er det kort vei til alt, da jeg bor i en studentlugar på 18kvm, hehehe) :]

Hehe, det er ikke så vemodig ass! Er klar for å bli ferdig og komme meg ut i jobb. Skal ta en haug med statistikk-kurs neste semester og så skal jeg avslutte med en matematisk masteroppgave neste sommer, så jeg er ikke helt ferdig enda.

Det kurset hørtes forresten ikke spesielt interessant ut, men sånn er livet!

Hei! Takk for svarene... @Markoman; Det var akkurat noe slikt jeg så for meg, prøvde noe lignende selv, men fikk galt svar, skal samenligne din utregning med min i håp om å finne hva jeg har gjort feil;) Takk igjen!

Markonan skrev:Hehe, det er ikke så vemodig ass! Er klar for å bli ferdig og komme meg ut i jobb. Skal ta en haug med statistikk-kurs neste semester og så skal jeg avslutte med en matematisk masteroppgave neste sommer, så jeg er ikke helt ferdig enda.

Det kurset hørtes forresten ikke spesielt interessant ut, men sånn er livet!

Hehehe, ok Jeg har fattet veldig interesse for statistikk selv. Har du noen linker til kursene?

Blir det lærer av deg, eller vil du drive med forskning? Statistikkursene dine vitner om at du kanskje ønsker en plass hos SSB el.l?

Det er kurs for det som heter aktuarkompetanse.

Jeg studerer matematisk finans, så jeg sikter meg inn på en jobb et eller annet sted i finansindustrien.

(Nei, på tide og legge seg nå).

Markonan skrev:Jeg studerer matematisk finans, så jeg sikter meg inn på en jobb et eller annet sted i finansindustrien.

Da ses vi nok der, går sivøk. og kommer til å ta sikte på finans selv $$$