matematikk.net

Skjønner ikke helt hvordan jeg skal angripe disse typer oppgaver, og siden jeg tar faget som privatist hadde jeg satt hjelp på en pekepinn her!

a) vis ved induksjon at:
[tex]\ n^3 - 4n + 6\[/tex]

er delelig med 3 for alle naturlige tall [tex]\ n\ge 0\[/tex]

b)
Vis ved induksjon at [tex]\frac{d}{{dx}}({x^{ - n}}) = - n{x^{ - n - 1}}\[/tex]

Ok, kan godt vise deg hvordan den første gjøres!
Først går vi ut fra at utsagnet er sant for n=t. Da fins det et naturlig tall s slik at [tex]{t^3} - 4t + 6 = 3*s[/tex].
Nå må vi vise at dette impliserer at også [tex]{(t + 1)^3} - 4(t + 1) + 6[/tex] er delelig med 3. Vi regner ut og får

[tex]{(t + 1)^3} - 4(t + 1) + 6[/tex]
[tex]({t^2} + 2t + 1)(t + 1) - 4(t + 1) + 6[/tex]
[tex]{t^3} + {t^2} + 2{t^2} + 2t + t + 1 - 4t - 4 + 6[/tex]
[tex]{t^3} - 4t + 6 + 3{t^2} + 3t - 3[/tex]

Vi viste først at utsagnet er sant for n=t, altså [tex]{t^3} - 4t + 6 =3*s[/tex]. Det gir:

[tex]3s + 3{t^2} + 3t - 3[/tex]
[tex]3s + 3({t^2} + t - 1)[/tex]
[tex]3(s + {t^2} + t - 1)[/tex]

Uttrykket er altså delelig meg 3.
regningen viser altså at hvis utsagnet er sant for n=t, så er det også sant for n=t+1.

Nå viser vi at utsagnet er sant for n=0.
Setter vi inn, får vi [tex]{0^3} - 4*0 + 6 = 6 = 2*3[/tex], som er delelig med 3.
Vi har da bevist at utsagnet er delelig med 3 for alle naturlige tall større eller lik null! Q.E.D!

ahh, tusen takk da skal jeg se om jeg får til b) oppgaven selv!

vil dette bli korrekt i forhold til spørsmålet?
b)
Vis ved induksjon at:
[tex]\frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - t}} = - t{x^{ - t - 1}}\[/tex]

[tex]\frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - 1}} = - {x^{ - 1 - 1}} = {x^{ - 2}}[/tex] vi setter inn for t=1 og antar at dette er rett
[tex]\frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - k}} = - t{x^{ - k - 1}}[/tex] der n=k, og k er et vilkårlig tall
[tex]\frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - (k + 1)}} = \frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - k}} \cdot \frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - 1}} = \frac{{dy}}{{dx}}({x^{ - k}} \cdot {x^{ - 1}})\[/tex]
[tex]\frac{{dy}}{{dx}}({x^{ - k}} \cdot {x^{ - 1}}) = (({x^{ - k}}) \cdot {x^{ - 1}}) + ({x^{ - k}} \cdot ({x^{ - 1}}))\[/tex] bruker produktregelen
[tex]\frac{{dy}}{{dx}}({x^{ - k}} \cdot {x^{ - 1}}) = ( - k{x^{ - k - 1}} \cdot {x^{ - 1}}) + ({x^{ - k}} \cdot - {x^{ - 2}}) = - k{x^{ - k - 2}} - {x^{ - k - 2}} = {x^{ - k - 2}}( - k - 1) = - (k + 1){x^{ - (k + 1) - 1}}\[/tex]

edit: tenkte det var greit å flytte spørsmålet ned til dette in,legget

Det ser veldig bra ut!

Ikke for å være pirkete og fæl, men det er noen småting du burde unngå, siden det gjør beviset litt ukorrekt. Kanskje det ble litt unøyaktig fordi det bare var et innlegg på et forum, men jeg påpeker det allikevel.

gundersen skrev:[tex]\frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - 1}} = - {x^{ - 1 - 1}} = {x^{ - 2}}[/tex]

Her bruker du regelen du skal bevise! Bedre å derivere x[sup]-1[/sup] = 1/x med kvotientregelen. (Du glemte også en minus, men den dukket opp igjen senere ).

gundersen skrev:[tex]\frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - (k + 1)}} = \cancel{\frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - k}} \cdot \frac{{dy}}{{dx}}{x^{ - 1}}} = \frac{{dy}}{{dx}}({x^{ - k}} \cdot {x^{ - 1}})\[/tex]

Du gjorde rett, men det midterste steget er galt. Du kan ikke fordele derivasjon over produkter, da trenger du produktregelen.


En siste ting: det er heller ikke helt riktig å ta med 'y' i notasjonen for den deriverte. y'en symboliserer funksjonen du deriverer. F.eks:
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{-1}) [/tex]
her er y = x[sup]-1[/sup]. Se hvordan notasjonen er i selve oppgaven.

Bortsett fra dette utførte du induksjonsbeviset som en boss.

Setter bare pris på at du tar deg tid til å pirke litt, og du har selvfølgelig helt rett!