matematikk.net

Hei.

Hvordan løser man følgende?


En bedrift produserer samme vare ved to fabrikker A og B.
Kostnaden ved å produsere hhv x og y enheter ved de to fabrikkene er:
Ca(x)=4x^+8x+20 000 og Cb(y)=y^2+8y+30 000

Sammenhengen mellom prisen p og total etterspørsel etter varen er:
p=890-x-y


Vis at den samlede fortjenesten fra de to fabrikkene er:
f(x,y)=-5x^2-2xy-2y^2+882x+882y-50 000.

Inntekt er som du vet pris ganger antall. Dermed blir inntektsfunksjonene for de respektive fabrikkene som følger:

[tex]I_a(x) = p\cdot x = (890-x-y) \cdot x = -x^2 + 890x - xy[/tex] (x er antall solgte enheter)

[tex]I_b(y) = p \cdot y = (890-x-y) \cdot y = -y^2 + 890y - xy[/tex] (y er antall solgte enheter)

Legg merke til følgende her.

[tex]p = 890 - x - y[/tex]

Hva betyr dette? Vel, det betyr at prisen er avhengig av produksjonen (tilbudet av x og y). Her faller prisen med én enhet (f.eks. ei krone) for hver ekstra enhet produksjon av x eller y.

Dette er ganske naturlig. Jo større tilbud man har av en vare, desto lavere vil prisen normalt bli. Vi får altså uttrykt prisen som en funksjon av produksjonsvolumet (og tilbudet) av x og y. Dersom fabrikken produserte 0, så ville prisen for andre produsenter av samme type vare få 890 for hver eneste enhet de solgte. Idet vi produserer én enhet, vil prisen i markedet falle for alle.

Profitt, eller fortjeneste, fremkommer ved å trekke kostnaden fra inntekten. Den samlede profitten blir dermed

[tex]P_{ab}(x,y) = I_a(x) + I_b(x) - \left[ C_a(x) + C_b(x)\right][/tex]

Her har vi altså tatt utgangspunkt i hver fabrikk og aggregert inntektsfunksjonene og trukket fra de aggregerte kostnadsfunksjone, for å komme frem til den samlede fortjenestefunksjonen. (Aggregere betyr å legge/sette sammen).

Dette kunne du også gjort for flere enn to funksjoner om du sto ovenfor en problemstilling som krevde det.

[tex]P_{ab}(x,y) = (-x^2 + 890x - xy) + (-y^2 + 890y - xy) - \left[ (4x^+8x+20 000) + (y^2+8y+30 000)\right][/tex]

[tex]P_{ab}(x,y) = -5x^2 - 2xy - 2y + 882x + 882y - 50 000[/tex]