Det eneste jeg har skjønt i undervisningen er at prinsippet er: halvere, kvadrere, addere.
Ta f.eks. likningen 2x[sup]2 + 8x - 5 = 0
Jeg har skjønt at det er tallet foran x som skal halveres, slik at det blir
2x[sup]2[/sup] + 4x - 5 = 0 (beklager at det blir stående så rart her, men mener altså 2x opphøyd i andre)
Jeg har forstått det som om at det er 4 som skal kvadreres, slik at det blir
2x[sup]2[/sup] + 16x - 5 = 0 Er dette riktig?
Videre har jeg forstått det som om at addisjonen har noe med 4- tallet å gjøre, men er usikker på om 4 skal legges til både vestre og høyre side eller hva som egentig skjer... Eller om det er det kvadrerte tallet som skal legges til...
Kan noen være så snille å forklare meg detaljert, men i et lettfattelig språk hva som egentlig skjer?
Hvordan løse 2. gradslikninger?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=29
http://www.matematikk.net/klassetrinn/k ... ninger.php
http://www.matematikk.net/klassetrinn/k ... ninger.php
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Hvis jeg tolker deg rett så har du ligningen [tex]2x^2 + 8x + 5 = 0[/tex] og vil løse denne vha av å lage et fullstendig kvadrat.
Poenget med denne metoden er å omforme uttrykket på venstre side slik at du får et uttrykk som du kan faktorisere ved hjelp av de (forhåpentligvis) kjente kvadratsetningene. Da blir det plutselig mye enklere å løse ligningen. Hvorfor: Hvis du har f.eks. [tex]x^2 + 2x + 1 = 4[/tex], så ser denne kanskje nokså vanskelig ut, men med litt erfaring kjenner man igjen venstresiden som det man har fått når man ganger ut parentesen [tex](x+1)^2[/tex]. Så vi har egentlig ligningen [tex](x+1)^2 = 4[/tex]. Men her har vi jo to kvadrater (noe som er opphøyd i andre) på hver side. Da tar vi kvadratroten og får de to ligningene [tex]x+1 = 2[/tex] og [tex]x+1 = -2[/tex], som er enkle å løse.
Dette eksmepelet illustrerer hvorfor vi ønsker å lage et fullstendig kvadrat. Her hadde vi noe på formen [tex]x^2 + 2x + 1[/tex], som er et fullstendig kvadrat fordi vi kan skrive det som [tex](x+1)^2[/tex]. Når vi kan få noe på en slik form ser vi at det er enkelt å arbeide med. Det er det å få det over på en slik form som kan være vanskelig. Hva om det i ligningen ovenfor hadde stått [tex]x^2 + 2x = 3[/tex]? Det er jo nesten et fullstendig kvadrat på venstre side. Men det er ikke noe problem å gjøre det om til et kvadrat. Når man arbeider med ligninger legger man til og trekker fra verdier hele tiden (hver gang man flytter over f.eks.) En ligning uttrykker ikke annet enn at to ting er like. Hvis vi legger til noe på hver side så må det som står på hver side fortsette å være like. Hvis vi har ligningen [tex]x^2 + 2x = 3[/tex] er det altså ingenting i veien for at vi kan legge til 1 på begge sider. Da får vi det uttrykket vi ønsker på venstre side: [tex]x^2 + 2x + 1 = 4[/tex]. Da får vi altså samme ligning som i sted.
I ditt tilfelle må det litt mer jobb til. For det første er det et 2-tall ganget med [tex]x^2[/tex]. Dette skaper problemer, for vi vil helst ende opp med et uttrykk på formen [tex]x^2 + 2ax + a^2[/tex] som kan trekkes sammen med 1. kvadratsetning. Vi begynner derfor med å dele på 2 på begge sider av ligningen. Da får vi ligningen [tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2} = 0[/tex]. Dersom man har litt erfaring så vil man gjenkjenne [tex]x^2 + 4x[/tex] som en del av det fullstendige kvadratet [tex]x^2 + 4x + 4[/tex] som er det vi får når vi ganger ut [tex](x+2)^2[/tex]. Da ser vi at det eneste vi trenger å gjøre er å sørge for at vi får det manglende 4-tallet på venstre side -- og vi må bli kvitt 5/2, den kan vi flytte over på høyre side. Da får vi [tex]x^2 + 4x + 4 = -\frac{5}{2} + 4[/tex]. Da gjenstår det å faktorisere venstre side vha. 1. kvadratsetning og å trekke sammen på høyre side. Det gir: [tex](x+2)^2 = \frac{3}{2}[/tex]. Neste steg er da å ta kvadratroten av begge sider. Det gir igjen to ligninger: [tex]x+2 = \sqrt{3}{2}[/tex] og [tex]x+2 = -\sqrt{\frac{3}{2}[/tex].
Men det er ikke alltid man umiddelbart ser hva man må legge til for å få et fullstendig kvadrat. Da må vi huske på hva du ønsker å oppnå. Du vil få redusert uttrykket til noe på formen [tex](x+a)^2[/tex], der a er et eller annet tall, og det tallet ønsker vi å finne. Hva får vi når vi ganger ut denne parentesen?: [tex]x^2 + 2ax + a^2[/tex]. La oss nå sammenligne dette uttrykket med det du har i oppgaven din. Hvis vi kan få uttrykket ditt på samme form, så har vi et fullstendig kvadrat.
[tex]x^2 + 2ax + a^2[/tex]
[tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2}[/tex]
Hvis 2ax og 4x skal være det samme, så må 2a = 4. Da må a = 2. Nå har vi altså funnet tallet a, som er 2. Men stemmer det sist leddet? Hvis uttrykket skal være et fullstendig kvadrat så må det siste leddet være lik [tex]a^2[/tex]. Så det bør i vårt uttrykk være [tex]2^2 = 4[/tex]. Men vi har jo ikke 4, vi har 5/2! Dette løser vi akkurat som forklart i noen avsnitt ovenfor, ved å rett og slett legge til 4 på begge sider. Eller -- vi kan legge så mye vi trenger til 5/2 for å få 4. Hvis vi legger til 3/2 på begge sider så får vi: [tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}[/tex] som når vi trekker sammen blir [tex]x^2 + 4x + 4 = \frac{3}{2}[/tex]. Nå har vi fått det fullstendige kvadratet på venstre side. Husk at hele jobben vi gjorde var å finne dette tallet a som gjorde at vi fikk et uttrykk som kunne trekkes sammen til [tex](x+a)^2[/tex]. Nå har vi altså funnet denne a-verdien, og vi har lagt til det som trengs for at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. Vi kan altså bytte ut venstre side med [tex](x+2)^2[/tex] og da får vi samme ligning som ble løst ovenfor.
Dette kan kanskje virke noe annerledes enn det som blir gjort i boken din, men det er egentlig det samme. For å finne a-verdien har vi først halvert det som står foran x-leddet og fått 2. Deretter har vi kvadrert dette og fått 4, og så har vi addert dette på begge sider og fått et fullstendig kvadrat som vi så kunne trekke sammen vha. 1. kvadratsetning. Du må ikke blande halveringen med det første vi gjorde, nemlig å dele på 2. Det var for å få [tex]x^2[/tex]-leddet uten noen konstanter foran.
Poenget med denne metoden er å omforme uttrykket på venstre side slik at du får et uttrykk som du kan faktorisere ved hjelp av de (forhåpentligvis) kjente kvadratsetningene. Da blir det plutselig mye enklere å løse ligningen. Hvorfor: Hvis du har f.eks. [tex]x^2 + 2x + 1 = 4[/tex], så ser denne kanskje nokså vanskelig ut, men med litt erfaring kjenner man igjen venstresiden som det man har fått når man ganger ut parentesen [tex](x+1)^2[/tex]. Så vi har egentlig ligningen [tex](x+1)^2 = 4[/tex]. Men her har vi jo to kvadrater (noe som er opphøyd i andre) på hver side. Da tar vi kvadratroten og får de to ligningene [tex]x+1 = 2[/tex] og [tex]x+1 = -2[/tex], som er enkle å løse.
Dette eksmepelet illustrerer hvorfor vi ønsker å lage et fullstendig kvadrat. Her hadde vi noe på formen [tex]x^2 + 2x + 1[/tex], som er et fullstendig kvadrat fordi vi kan skrive det som [tex](x+1)^2[/tex]. Når vi kan få noe på en slik form ser vi at det er enkelt å arbeide med. Det er det å få det over på en slik form som kan være vanskelig. Hva om det i ligningen ovenfor hadde stått [tex]x^2 + 2x = 3[/tex]? Det er jo nesten et fullstendig kvadrat på venstre side. Men det er ikke noe problem å gjøre det om til et kvadrat. Når man arbeider med ligninger legger man til og trekker fra verdier hele tiden (hver gang man flytter over f.eks.) En ligning uttrykker ikke annet enn at to ting er like. Hvis vi legger til noe på hver side så må det som står på hver side fortsette å være like. Hvis vi har ligningen [tex]x^2 + 2x = 3[/tex] er det altså ingenting i veien for at vi kan legge til 1 på begge sider. Da får vi det uttrykket vi ønsker på venstre side: [tex]x^2 + 2x + 1 = 4[/tex]. Da får vi altså samme ligning som i sted.
I ditt tilfelle må det litt mer jobb til. For det første er det et 2-tall ganget med [tex]x^2[/tex]. Dette skaper problemer, for vi vil helst ende opp med et uttrykk på formen [tex]x^2 + 2ax + a^2[/tex] som kan trekkes sammen med 1. kvadratsetning. Vi begynner derfor med å dele på 2 på begge sider av ligningen. Da får vi ligningen [tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2} = 0[/tex]. Dersom man har litt erfaring så vil man gjenkjenne [tex]x^2 + 4x[/tex] som en del av det fullstendige kvadratet [tex]x^2 + 4x + 4[/tex] som er det vi får når vi ganger ut [tex](x+2)^2[/tex]. Da ser vi at det eneste vi trenger å gjøre er å sørge for at vi får det manglende 4-tallet på venstre side -- og vi må bli kvitt 5/2, den kan vi flytte over på høyre side. Da får vi [tex]x^2 + 4x + 4 = -\frac{5}{2} + 4[/tex]. Da gjenstår det å faktorisere venstre side vha. 1. kvadratsetning og å trekke sammen på høyre side. Det gir: [tex](x+2)^2 = \frac{3}{2}[/tex]. Neste steg er da å ta kvadratroten av begge sider. Det gir igjen to ligninger: [tex]x+2 = \sqrt{3}{2}[/tex] og [tex]x+2 = -\sqrt{\frac{3}{2}[/tex].
Men det er ikke alltid man umiddelbart ser hva man må legge til for å få et fullstendig kvadrat. Da må vi huske på hva du ønsker å oppnå. Du vil få redusert uttrykket til noe på formen [tex](x+a)^2[/tex], der a er et eller annet tall, og det tallet ønsker vi å finne. Hva får vi når vi ganger ut denne parentesen?: [tex]x^2 + 2ax + a^2[/tex]. La oss nå sammenligne dette uttrykket med det du har i oppgaven din. Hvis vi kan få uttrykket ditt på samme form, så har vi et fullstendig kvadrat.
[tex]x^2 + 2ax + a^2[/tex]
[tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2}[/tex]
Hvis 2ax og 4x skal være det samme, så må 2a = 4. Da må a = 2. Nå har vi altså funnet tallet a, som er 2. Men stemmer det sist leddet? Hvis uttrykket skal være et fullstendig kvadrat så må det siste leddet være lik [tex]a^2[/tex]. Så det bør i vårt uttrykk være [tex]2^2 = 4[/tex]. Men vi har jo ikke 4, vi har 5/2! Dette løser vi akkurat som forklart i noen avsnitt ovenfor, ved å rett og slett legge til 4 på begge sider. Eller -- vi kan legge så mye vi trenger til 5/2 for å få 4. Hvis vi legger til 3/2 på begge sider så får vi: [tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}[/tex] som når vi trekker sammen blir [tex]x^2 + 4x + 4 = \frac{3}{2}[/tex]. Nå har vi fått det fullstendige kvadratet på venstre side. Husk at hele jobben vi gjorde var å finne dette tallet a som gjorde at vi fikk et uttrykk som kunne trekkes sammen til [tex](x+a)^2[/tex]. Nå har vi altså funnet denne a-verdien, og vi har lagt til det som trengs for at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. Vi kan altså bytte ut venstre side med [tex](x+2)^2[/tex] og da får vi samme ligning som ble løst ovenfor.
Dette kan kanskje virke noe annerledes enn det som blir gjort i boken din, men det er egentlig det samme. For å finne a-verdien har vi først halvert det som står foran x-leddet og fått 2. Deretter har vi kvadrert dette og fått 4, og så har vi addert dette på begge sider og fått et fullstendig kvadrat som vi så kunne trekke sammen vha. 1. kvadratsetning. Du må ikke blande halveringen med det første vi gjorde, nemlig å dele på 2. Det var for å få [tex]x^2[/tex]-leddet uten noen konstanter foran.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Den korte forklaringen:
Først deler vi på 2:
[tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2} = 0[/tex]
Deretter deler vi tallet foran x på 2 (halverer). Da får vi 2. Dette kvadrerer vi og får 4. Så legger vi det til (på begge sider!)
[tex]x^2 + 4x + 4 + \frac{5}{2} = 4[/tex]
Så flytter vi over 5/2:
[tex]x^2 + 4x + 4 = 4 - \frac{5}{2}[/tex]
På venstre side bruker vi nå 1. kvadratsetning baklengs for å faktorisere. Det er det som er hele målet med å gjøre dette. På høyre side trekker vi sammen tallene.
[tex](x+2)^2 = \frac{3}{2}[/tex]
Veien videre herfra er vist ovenfor og helt sikkert i boken din.
Dette er noe som kommer til å gå seg til etter du har gjort noen oppgaver.
Først deler vi på 2:
[tex]x^2 + 4x + \frac{5}{2} = 0[/tex]
Deretter deler vi tallet foran x på 2 (halverer). Da får vi 2. Dette kvadrerer vi og får 4. Så legger vi det til (på begge sider!)
[tex]x^2 + 4x + 4 + \frac{5}{2} = 4[/tex]
Så flytter vi over 5/2:
[tex]x^2 + 4x + 4 = 4 - \frac{5}{2}[/tex]
På venstre side bruker vi nå 1. kvadratsetning baklengs for å faktorisere. Det er det som er hele målet med å gjøre dette. På høyre side trekker vi sammen tallene.
[tex](x+2)^2 = \frac{3}{2}[/tex]
Veien videre herfra er vist ovenfor og helt sikkert i boken din.
Dette er noe som kommer til å gå seg til etter du har gjort noen oppgaver.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Tusen takk for den korte forklaringen! Har sittet og prøvd å skjønne den lange, men det ble litt komplisert... Den korte forklaringen skjønte jeg faktisk!!!Vektormannen skrev:Den korte forklaringen:
Dette er noe som kommer til å gå seg til etter du har gjort noen oppgaver.
Håper du har rett i at det vil gå seg til når jeg har gjort noen oppgaver, for det føles definitivt ikke sånn nå...