Aleks' spørrehjørne

[Aleks855]

Ettersom jeg nå har begynt å jobbe meg gjennom Calculus Early Transcendentals (takk for tipset, Nebu!), så antar jeg at jeg vil få en del nye spørsmål i løpet av boka. Ikke minst fordi man får en del oppgaver.

Så i stedet for å lage en ny tråd for hver oppgave jeg kommer til å stå fast på, så tar jeg det bare her. Og alle innspill vil være verdsatt!

I første omgang, så blir jeg bedt om å faktorisere et tredjegrads polynom, uten å få vite noen faktorer.

[tex]P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12[/tex]

Jeg brukte trial-and-error metoden, ved å teste P(1), P(2) og P(3) osv til jeg fant et nullresultat. Spørsmålet er; finnes det noen lettere metode å isolere en faktor i et slikt polynom på? Slik jeg er vant med det, så får man oppgitt en faktor, så dividerer man og så... Ja. Dere vet regla, haha

[Janhaa]

Er vel den vanligste måten. Du har jo med dine tall faktisk 2 av tre nullpunkter da...
Evt kan du pluggen inn på kalkis og sjekke nullpunkta...

[Vektormannen]

Hvis du vet at røttene er heltallige så kan du bruke at de må gå opp i 12 (hvorfor?), så har du hvertfall et mer snevert utvalg å teste (pluss/minus 1, 2, 3 og 4.)

[Aleks855]

Hvis du vet at røttene er heltallige så kan du bruke at de må gå opp i 12 (hvorfor?), så har du hvertfall et mer snevert utvalg å teste (pluss/minus 1, 2, 3 og 4.)

Dette er fordi alle leddene med x i, må tilsammen bli -12 for at polynomet skal bli 0?

[Vektormannen]

Ikke akkurat (kanskje jeg misforstår deg.) La oss si at a, b og c er de tre nullpunktene til polynomet. Da kan polynomet skrives som (x - a)(x - b)(x - c). Konstantleddet i polynomet er da lik produktet abc. Dermed må a, b og c gå opp i konstantleddet hvis de er heltallige.

[Aleks855]

Ah, der tok jeg den. Sånn har jeg ikke sett på det før. Det er litt rart, for det er jo sånn jeg har løst andregrads polynomer hittil, ved å finne røtter som multiplisert blir siste ledds koeffisient, og som addert blir andre ledds koeffisient. Mange takk

Videre står jeg fast på forkortingen av følgende:

[tex]\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{x+1}{x+2}[/tex]

Jeg kommer så langt som til å gi fellesnevner, og samle greia.

[tex]\frac{x^2 - (x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}[/tex]

Men her stiller jeg meg fast.

Noen tips?

[Vektormannen]

Du kan vel rydde litt opp i telleren?

[Aleks855]

Ja, det er der jeg antar jeg gjør noe feil. Skal vi se...

[tex]\frac{x^2-(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}[/tex]

[tex]\frac{x^2 - x^2 - 2x + x - 2}{(x-2)(x+2)}[/tex]

[tex]\frac{-x-2}{(x-2)(x+2)}[/tex]

[tex]\frac{(-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}[/tex]

[tex]- \frac{1}{x+2}[/tex]

Antar jeg har fortegnsfeil en plass, for fasiten sier:

[tex]\frac{1}{x-2}[/tex]

Altså, med mindre jeg ser bort i fra en mulighet til å omskrive det jeg fikk til fasitsvaret.

[Vektormannen]

Du gjør noen fortegnsfeil når du ganger ut i telleren. Husk på at minustegnet foran produktet (x+1)(x-2) må være med og ganges inn i alle ledd du får når du ganger ut (x+1)(x-2) (dette er fordi regnerekkefølgen dikterer at minus/pluss skal skje etter ganging.)

Altså: [tex]-(x+1)(x-2) = -(x^2 - 2x + x - 2) = -x^2 + 2x - x + 2 = -x^2 + x+2[/tex].

[Aleks855]

Ajaj, sånne feil må jeg bli kvitt. Det gir jo perfekt mening når du sier det.

Jeg pleide å ha en liten regel om at når sånt oppstår så setter jeg et stort parantes rundt hele produktet, og jobber ut det som står inni parantesen først, og dermed endrer alle fortegna. Kanskje bra jeg sitter med sånt i ferien.

Takk igjen, VM

[Aleks855]

Hvordan får jeg faktorisert denne?

[tex]3x^{\frac{3}{2}} - 9x^{\frac{1}{2}} + 6x^{-\frac{1}{2}}[/tex]

Jeg har prøvd å innføre [tex]u=\frac{1}{2}[/tex] og omskrive eksponentene slik, men jeg kommer ikke videre.

Jeg har også prøvd å omskrive leddene til røtter og faktorisere ut [tex]\sqrt{x}[/tex] men uten videre suksess.

Det jeg får er [tex]\sqrt{x} ( 3x - 9 + \frac{6}{x})[/tex]

Noen som har noen lure tips?

[Nebuchadnezzar]

[tex]3x-9+\frac{6}{x}[/tex]

Prøv å gang dette her med fellesnevner og faktoriser =)

[Aleks855]

Kan man gjøre det når man bare har noen sammensatte ledd? Var av den oppfatning at man bare gjør sånt hvis man har ei likning, forutsatt at man utfører operasjonen på begge sider av likhetstegnet.

Skal jeg bare anta at funksjonen uten likhet med noe annet tilsvarer null?

[Nebuchadnezzar]

Det man ikke kan gjøre er å bare gange likningen med x, fordi da "mister" vi informasjon. Når vi setter på fellesnevner mister vi ikke informasjon

Til dømes

[tex] \Large{ \sqrt{x} \left( 3x \, - \, 9 \, + \, \frac{6}{x} \right) } [/tex]

[tex] \Large{ 3\sqrt{x} \left( x \, - \, 3 \, + \, \frac{2}{x} \right) } [/tex]

[tex] \Large{ 6 \sqrt{x} \left( x\cdot\frac{x}{x} \, - \, 3 \cdot\frac{x}{x} \, + \, \frac{2}{x} \right) } [/tex]

[tex] \Large{ 6 \sqrt{x} \left( \frac{x^2-3x+2}{x} \right) } [/tex]

[tex] \Large{ 6 \frac{\sqrt{x}}{x} \left( x^2-3x+2 \right) } [/tex]

x/x = 1 så vi forandrer jo ikke likningen vår på noen måte, vi bare skriver den om.

Osv

Og det var jeg som foreslo den boken ikke espen

[Aleks855]

Ja, den er jeg kjent med, altså å gange med 1 i form av en brøk med identisk teller og nevner. Men måten du sa det på ("gang med fellesnevner") fikk det til å virke som om vi hadde med ei likning å gjøre, hehe.

Forøvrig, hvordan fikk du 3'ern utenfor parantesen til å bli 6?

Jeg får svaret: [tex]\frac{3}{\sqrt{x}}(x-2)(x-1)[/tex]

Som omsider stemmer med fasit. Altså gjorde jeg om [tex]\frac{\sqrt{x}}{x} \Right x^{-\frac{1}{2}}[/tex]

Var det bare en glipp som skapte 6'ern?

Og første innlegg endret. Beklager