Bevise A sin(x+phi)
Lagt inn: 16/06-2011 18:24
Står litt forklart om dette i boka, og har matte munltig i morgen, så greit om det sitter.
Om jeg får i oppgave å bevise at
[tex]a \sin(kx) \, + \, b \cos(kx) \, = \, A \, sin(kx \, + \, \phi)[/tex]
Kan jeg da bevise det på denne måten, eller mangler det noe? Alle tips, og feil tas imot med stor takk =)
Vi ser på venstre siden, og utvider den ved hjelp av sum formelen for sinus.
[tex]\sin(a+b) \, = \, \sin(a) \cos(b) \, + \, \sin(b) \cos(a)[/tex]
Så
[tex]A ( \sin(kx+\phi) ) \, = \, A ( \sin(kx) \cos(\phi) \, + \, \sin(\phi) \cos(kx) ) [/tex]
[tex]A \, \sin(kx+\phi) \, = \, A \, \sin(kx) \cos(\phi) \, + \, A \, \sin(\phi) \cos(kx) [/tex]
Om de to uttrykkene ovenfor skal være like må
[tex]A \, \sin(kx) \cos(\phi) \, + \, A \, \sin(\phi) \cos(kx) \, = \, a \sin(kx) \, + \, b \cos(kx)[/tex]
For at disse to uttrykkene skal være like må
[tex]a \, = \, A \cos(\phi) \; [/tex] og [tex] \; b \, = \, A \sin(\phi)[/tex]
Nå tegner vi en smart trekant som vist under
![Bilde](http://i.imgur.com/P7Jh4.png)
Her ser vi at
[tex]\sin(\phi) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \Rightarrow \, sqrt{a^2+b^2} \sin(\phi) = a[/tex]
[tex]\cos(\phi) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \Rightarrow \, sqrt{a^2+b^2} \cos(\phi) = b[/tex]
Nå gjennstår det bare å vise at [tex] \sqrt{a^2+b^2} \, = \, A[/tex]
Og her stopper det opp, noen tips?
Om jeg får i oppgave å bevise at
[tex]a \sin(kx) \, + \, b \cos(kx) \, = \, A \, sin(kx \, + \, \phi)[/tex]
Kan jeg da bevise det på denne måten, eller mangler det noe? Alle tips, og feil tas imot med stor takk =)
Vi ser på venstre siden, og utvider den ved hjelp av sum formelen for sinus.
[tex]\sin(a+b) \, = \, \sin(a) \cos(b) \, + \, \sin(b) \cos(a)[/tex]
Så
[tex]A ( \sin(kx+\phi) ) \, = \, A ( \sin(kx) \cos(\phi) \, + \, \sin(\phi) \cos(kx) ) [/tex]
[tex]A \, \sin(kx+\phi) \, = \, A \, \sin(kx) \cos(\phi) \, + \, A \, \sin(\phi) \cos(kx) [/tex]
Om de to uttrykkene ovenfor skal være like må
[tex]A \, \sin(kx) \cos(\phi) \, + \, A \, \sin(\phi) \cos(kx) \, = \, a \sin(kx) \, + \, b \cos(kx)[/tex]
For at disse to uttrykkene skal være like må
[tex]a \, = \, A \cos(\phi) \; [/tex] og [tex] \; b \, = \, A \sin(\phi)[/tex]
Nå tegner vi en smart trekant som vist under
![Bilde](http://i.imgur.com/P7Jh4.png)
Her ser vi at
[tex]\sin(\phi) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \Rightarrow \, sqrt{a^2+b^2} \sin(\phi) = a[/tex]
[tex]\cos(\phi) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \Rightarrow \, sqrt{a^2+b^2} \cos(\phi) = b[/tex]
Nå gjennstår det bare å vise at [tex] \sqrt{a^2+b^2} \, = \, A[/tex]
Og her stopper det opp, noen tips?