matematikk.net

[tex]\frac{{100\ln (2)}}{{prosent}}=[/tex]hvor lang tid det går før verdien er doblet (der prosent = vekstfart)
veldig rotete forklart men dere har sikkert sett formelen før.

F.eks hvis noe har en kontinuerlig vekstfart på 20% vil det da ta:
[tex]\frac{{100\ln (2)}}{{20}} \approx 3.5[/tex]

3.5år før verdien dobles om jeg har fortstått det rett.

Satt å prøvde meg frem i går men så ikke hvordan matematisk dette stemte og lurte på om noen kunne forklare det

Kan begynne med å forklare litt om kontinuerlig rente og eksponentialfunksjonen.

La oss si du setter inn 100 kr i banken. Hvis renten er på 20% (som er en ganske heftig rente forresten ), og banken opererer med 1 årlig innbetaling av rentene (f.eks 31. desember hvert år), så har man etter det første året fått:
100*1.2 = 120

Hvis banken gjør innbetalinger 2 ganger i året så blir det etter 6 måneder renter for halve året, som er 10%:
100*1.1 = 110
og etter ytterligere 6 måneder:
110*1.1 = 121

Når banken gikk over til 2 innbetalinger, så endte du opp med litt ekstra som kommer av renters rente. Man fikk 1 krone ekstra som var renter for 10'eren man fikk etter 6 måneder.

Sånn kan man fortsette. Hvis man har fire innbetalinger med 5% rente ender man opp med
[tex]100\cdot 1.05^4 = 100\Big(1 + \frac{0.2}{4}\Big)^4 \approx 121.56[/tex]

Hvis det er 8 innbetalinger:
[tex]100\Big(1 + \frac{0.2}{8}\Big)^8 \approx 121.84[/tex]

Og når vi går over til kontinuerlig tid så blir det
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}100\Big(1 + \frac{0.2}{n}\Big)^n = 100\cdot\exp(0.2) \approx 122.14[/tex]
(fra grensedefinisjonen til eksponentialfunksjonen
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... definition)

Det er derfor man bruker eksponentialfunksjonen til kontinuerlige renter.

Etter t år, så er veksten på saldoen lik
[tex]\exp(0.2t)[/tex]
eller for å følge notasjonen du har
[tex]\exp(\frac{20}{100}t)[/tex]

Du skal nå finne ut hva tiden t skal være før du har doblet innskuddet, og det er når veksten er lik 2. Det løser man rett og slett som en ligning mhp t.
[tex]\exp(\frac{20}{100}t) = 2[/tex]

[tex]\frac{20}{100}t = \ln 2[/tex]

[tex]20t = 100\ln (2)[/tex]

[tex]t = \frac{100\ln (2)}{20} \approx 3.4657[/tex]

Tusen takk for et godt utfyllende svar!
Skjønner ikke helt den overgangen her, og det er sikkert en litt komplisert overgang?
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}100\Big(1 + \frac{0.2}{n}\Big)^n = 100\cdot\ e^{0.2}\approx 122.14[/tex]

Skal få lest litt på det over helgen hvertfall. Veldig irriterende å være usikker på slike ting og ikke skjønne hvorfor ting faktisk blir akkurat som de blir! Men det er vel kanskje sånn "mattens verden" er, så får bare venne meg til følelsen

Definisjonen er jo

[tex]e^x \, = \, \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n[/tex]

Enkelt og greit så gir de bare navn til en grense. Altså
Jeg kan definere at [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=bleh[/tex]
Der bleh er lik [tex]1.00000 \dots [/tex]

De bare sier at

[tex]\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n \, = \, e[/tex]

Og i matematikkens verden, så er det viktig å finne ut av ting man lurer på enn å bare godta at slik er det :p

Hehe, det er jo det jeg holder på med, men man finner vel alltid nye ting å bryne seg på!

Tenkte på en tradisjonell utregning à la

[tex]\frac{{x + 3{x^2}}}{{2{x^2} + 4x}} \to \frac{{(x + 3{x^2})}}{{(2{x^2} + 4x)}} \cdot \frac{{\frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{3}{2}[/tex]

der jeg "ser" stegene og logikken bak det. Så om dette gir en enkel løsning så hadde det vært kult å fått sett det hvis ikke skal dere få slippe å mate det til meg med teskje, og så får jeg heller lese gjennom dette selv.

EDIT: Leste over det du skrev igjen, å ser at jeg misforstod litt hva du sa om at e^x er selve definisjonen. Tror jeg tenkte litt for vanskelig og ville ha svar på et spørsmål som er feil jeg skal gå å legge meg

Etter t år, så er veksten på saldoen lik
[tex]\ e^{0.2t}[/tex]

jeg ser hvorfor det i dette tilfellet blir [tex]\ e^{0,2}[/tex] men hvorfor blir det 0.2 * t etter t år?

Nebuchadnezzar skrev:Jeg kan definere at [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=bleh[/tex]
Der bleh er lik [tex]1.00000 \dots [/tex]

Herved vedtatt! Ny konvensjon!

gundersen skrev:Etter t år, så er veksten på saldoen lik
[tex]\ e^{0.2t}[/tex]

jeg ser hvorfor det i dette tilfellet blir [tex]\ e^{0,2}[/tex] men hvorfor blir det 0.2 * t etter t år?

OBS: Skrevet i lett alkoholrus.

Hvis du setter inn 100,-, så vil du etter 1 år ha:
[tex]100e^{0.2}[/tex]

Lar du de stå i 1 år til har du
[tex]100e^{0.2}e^{0.2} = 100e^{0.2 + 0.2} = 100e^{0.4} = 100e^{0.2(2)}[/tex]

Og med samme begrunnelse vil du etter t år ha
[tex]100e^{0.2t}[/tex]

takk igjen!

OBS: Skrevet under sterk alkoholrus.

Bare hyggelig!