matematikk.net

Jeg har STORE problemer med å forstå dette!

i en rasjonal funksjon der neveren bare består av x, trodde jeg at det ikke skulle gi noen mening å finne grenseverdien når x->0 fordi brøken da ikke gir noen mening, men hvordan har det seg da?
takk for svar, trenger det virkelig, for her har jeg problemer med å forstå det mest elementære!!

Ta et lett eksempel da

[tex]f(x) = \frac{x}{x}[/tex]

Hvilken verdi har [tex]f(x)[/tex] når [tex]x[/tex] er ulik [tex]0[/tex] ?

Hvilken verdi har [tex]f(x)[/tex] når [tex]x[/tex] er lik [tex]0[/tex]?

På den første er jo svaret ganske greit 1. Men f er ikke definert når x=0. Derfor er f(0) udefinert.

MEN, grenseverdien eksisterer. Vi ser at når vi nærmer oss 0, så nærmer vi oss 1 fra høyre og venstre side.

Funksjonen har bare et hull der. Vi sier at en grenseverdi er noe en funksjon nærmer seg, ikke nødvendigvis når.

La oss si du går på en vei. Og denne veien er uendelig lang. I enden av veien er det et rødt hus...

Uansett hvor lenge du går vil du aldri komme til dette huset, men du nærmer deg huset.

På samme måte så kan vi si at en funksjon nærmer seg et tall, eller ei linje. Uten å noensinne være definert der, eller kunne nå dit. alla uendelig

så det vil si at grenseverdien eksisterer, men ikke er definert?

i boka mi står det også "dersom telleren ikke går mot null samtidig som at nevneren gjør det, har vi en vertikal asymptote. Da eksisterer ikke grenseverdien." da vil vel det grafisk si at den gjør et hopp, og at den aldri kommer dit.
men med grenseverdi mener man altså et punkt på en graf som i realiteten ikke finnes, men som likevel ser ut til å være der siden "linja(grafen) passerer punktet?

Nå forklart jeg meg kanskje uklart. Om en funksjon er definert eller ikke i et punkt, betyr ingenting for om grensevedien eksisterer eller ikke.
Grenseverdien er bare hva funksjonen nærmer seg. Når vi går mot grensen fra høyre og venstre.

For eksempel om vi har en funksjon som er slik

[tex]f(x) = \left{ \array{5 \qquad & x = 2 \\ x + 1 \qquad & x \neq 2} \right.[/tex]

For denne funksjonen så har vi at [tex]f(2)=5[/tex]. Mens grenseverdien til denne funksjonen er 3. Altså at [tex]\lim_{x\to2}f(x)=3[/tex]

Dette er fordi at når vi nærmer oss [tex]f(2)[/tex] fra både høyre og venstre side, så kommer vi nærmere og nærmere [tex]3[/tex].

[tex]f(1.99)=2.99[/tex] og [tex]f(2.01)=3.01[/tex] for eksempel

Grenseverdi til brøker og kanskje spesielt rasjonale funksjoner er også greie å finne. Her ser vi som oftest bare på hva som skjer når [tex]x \to \pm \infty [/tex]

Vi har en litt merkelig definisjon av grenseverdi. Men dersom funksjonen vår går mot ett eller annet tall for et gitt tall, uavhengig om funksjonen vår eksisterer for dette tallet så eksisterer grenseverdien.

Dersom grenseverdien går mot uendelig eller minus uendelig, sier vi at grenseverdien ikke er definert. Eller dersom grensen vår går mot forskjellige ting når vi nærmer oss fra høyre og venstre side.

For eksempel eksisterer ikke grensen under

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}[/tex]

Fordi at

[tex]\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty[/tex]

Altså to helt forskjellige verdier.

[tex]\frac{1}{x-1}[/tex]

Grenseverdien her eksisterer ikke når x går mot 1. Siden uendelig, Samme som før. Vertikal asymptote er x=1