matematikk.net

Hei,

frisker opp algebraen om dagen. Føler jeg har relativt god kontroll, men av en eller annen grunn stanger jeg med følgende oppgaver. Noen som kan hjelpe? Takk!

Hei.

Det er helt i orden at du poster spørsmål her, men som regel er det fint at du viser hva du har tenkt/prøvd hittil. Jeg kan dog gi deg noen hint:

På oppgave 2.305:

Du vet at uttrykket på høyre side av likhetstegnet er [tex]x^2 + y^2[/tex]. Altså har disse uttrykkene potens [tex]2[/tex] og er derfor av andre grad. I uttrykket på venstre side har du kun [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] av første grad. Kan du tenke deg hva du må multiplisere [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] med for å få [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex]. Tenk litt på dette, og se hvor du kommer


På oppgave 2.300:

Her skal du først se om du har en faktor som går igjen i begge uttrykkene. Deretter må du se om du kan bruke kvadratsetningene eller konjugatsetningen til å faktorisere ytterligere. Jeg skal løse a) for deg, så kan du prøve på b) selv.

Vi har:

[tex]2x^2 - 8y^2[/tex]. Her ser vi at [tex]2[/tex] er felles for begge leddene. Altså kan vi skrive:

[tex]2(x^2 - 4y^2)[/tex]

Og konjugatsetningen gir oss videre:

[tex]2(x+2y)(x-2y)[/tex]


På siste oppgave - vet du hva metoden med fullstendige kvadrater går ut på? Her vil jeg gjerne også se hvordan du har tenkt før jeg hjelper deg.

Hei,

tusen takk for hjelpen! Jeg skal forsøke så godt jeg kan å skrive ut det jeg har tenkt (takk for tipset, beklager at jeg bare durte på med oppgaver):

Når det gjelder oppgave 2.305, så kom jeg frem til riktig svar og fant at faktorene måtte være x og y. Det var ikke et resultat av at jeg regnet med frem til det, jeg bare tenkte at slik måtte det være (på bakgrunn av det du også påpeker). Jeg lurer imidlertid på om det er noen måte å utlede det på basert på

[tex]x^2+y^2[/tex]

eller om slike oppgaver bare hviler på resonneringsevnen?

Oppgave 2.300, der er det c) jeg sliter med. Foreløpig har jeg tenkt følgende:

[tex]-5x^2+20z^2[/tex]

[tex]-5(x^2-4z^2)[/tex]

[tex]-5(x^2-2^2z^2)[/tex]

[tex]-5(x-2z)(x+2z)[/tex]

Fasiten gir svaret [tex]5(2z-x)(2z+x)[/tex]. Nå er det så lenge siden jeg har regnet grunnleggende matte at jeg har glemt alle tjuvtriksa. Kan jeg bare bytte fortegn i hytt og pine, så lenge jeg gjør det samme innenfor en av parentesene? Altså:

[tex]-5(x-2z)(x+2z) = 5(-x+2z)(x+2z) = 5(2z-x)(2z+x)[/tex]

Siste oppgave: så vidt jeg har skjønt handler metoden om fullstendige kvadrater at i et fullstendig kvadrat

[tex]ax^2+bx+c[/tex]

er

[tex]c=(\frac b2)^2[/tex]

For å danne et fullstendig kvadrat må man derfor

[tex]ax^2+bx+(\frac b2)^2-(\frac b2)^2+c[/tex]

Så, i min oppgave har jeg tenkt slik:

[tex]2x^2-9x+9[/tex]

[tex]2(x^2-\frac92 x+(\frac 92)^2-(\frac 92)^2+\frac 92[/tex]

[tex]2(x-\frac 92)(x+\frac 92)-(\frac 92)^2+\frac 92[/tex]

Så stopper det litt opp.

2.305) Oppgaven legger nok opp til at du skal prøve deg frem litt ja, med de tankene som krje1980 nevnte i bakhodet.

2.300c) Det er helt riktig det du sier, -5 kan du tenke på som [tex]-1 \cdot 5[/tex], og så kan du gange -1 med én av parentesene (som da har den effekten at leddene i parentesen bytter fortegn.)

Siste oppgave) Her har du:

[tex]2x^2 - 9x + 9 = 2\left(x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2}\right)[/tex]

Nå må du passe på å holde alt innafor parentesen her. Så kan du fortsette på 'vanlig' måte med polynomet som står i parentesen (som om det ikke sto 2 foran [tex]x^2[/tex].) Da får du:

[tex]2\left(x^2 - \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{4}\right)^2 - \left(\frac{9}{4}\right)^2 + \frac{9}{2}\right)[/tex]

Pass på at b er 9/2, altså er b/2 = 9/4!

Nå kan vi benytte andre kvadratsetning ([tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/tex]) baklengs på de første leddene:

[tex]2\left(\left(x - \frac{9}{4}\right)^2 + \frac{9}{2} - \frac{81}{16}\right) = 2\left(\left(x - \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{16}\right)[/tex]

Nå står det en differanse mellom to kvadrater i parentesen. Hvilken regel kan du benytte da for å fullføre faktoriseringen?

Tusen takk for svar, igjen. Jeg ser at jeg tuller med helt grunnleggende brøkregning. Det er der feilen ligger i siste oppgaven. Blir lurt av at det allerede er et 2-tall under brøkstreken, og glemmer å dele på 2 igjen.

På siste kan jeg vel da skrive:

[tex]2((x-\frac94)^2-(\frac34)^2)[/tex]

[tex]2(x-\frac94-\frac34)(x-\frac94+\frac34)[/tex]

[tex]2(x-3)(x-\frac64)[/tex]

[tex](2x-3)(x-3)[/tex]

Eller? Takk igjen!

Det stemmer helt det

Det ser ut som du har ganske grei kontroll (ut fra det jeg har sett da ) på konseptene, bare tren litt på algebraen, brøkregningen osv.

Takk for at du tok over hjelpen, Vektormannen . Er på jobb, så har desssverre ikke hatt mulighet til å gå inn her på et par timer.

En liten bemerkning:
Svaret i oppgave 2.305 er ikke entydig.

Vi har vel f.eks. også at

[tex] \frac { y + x }{ 2 } \cdot (y + x) - \frac { x - y }{ 2 } \cdot ( y - x ) =x^2 + y^2[/tex]

Det kan jo være ei ekstraoppgave å utforske forskjellige løsninger.

Det skal da nevnes at det ikke er spesielt vanskelig å bestemme alle løsningene heller. Vi har

[tex]a(x+y) \ - \ b(x-y) \ = \ x^2 + y^2 [/tex]

Løser vi denne likningen for [tex]a[/tex], får vi

[tex]a \ = \ \frac{b(x-y) \ + \ x^2 \ + \ y^2}{x \ + \ y}[/tex]

Slik alle løsningene er gitt som

[tex]b \ = \ t \qquad \wedge \qquad a \ = \ \frac{t(x-y) \ + \ x^2 \ + \ y^2}{x \ + \ y}[/tex]

Der [tex]t[/tex] er en fri parameter (kan være hva som helst)