Hei igjen,
sitter med følgende oppgave:
Hvilke to forskjellige positive hele tall er x og y når
[tex]x^y=y^x[/tex]
Så langt har jeg tenkt:
[tex]x=\sqrt[y]{y^x}[/tex]
[tex]x=y\frac{x}{y}[/tex]
[tex]x^2=(y\frac{x}{y})^2[/tex]
[tex]x^2=y\frac{2x}{y}[/tex]
Så har jeg egentlig bare prøvd meg frem herfra. Satte
[tex]x^2=x^y[/tex] slik at [tex]y=2[/tex]
Med det som utgangspunkt
[tex]x^2=2^x[/tex]
For at [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] skal bli to ulike, hele positive tall må de være [tex]x=4[/tex] og [tex]y=2[/tex].
Jeg kommer altså frem til riktig svar, men er ikke sikker på om fremgangsmåten er korrekt (er vel ganske sikker på at den ikke er det). Noen som kan hjelpe med litt oppklaring?
Takk!
Potensregning med to ukjente?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Blir nok dessverre litt feil ja, men det er nok meningen å bare prøve å feile ti en kommer frem til riktig svar.
En alternativ måte, som ikke består av så mye prøving og feiling er å bruke logaritmer.
Vi begynner med
[tex]x^y = y^x[/tex]
Så tar vi logaritmen på begge sider, og bruker at [tex]\log(x^y) = y \log(x)[/tex], slik at
[tex]y \log x = x \log y[/tex]
Nå deler vi med [tex]x[/tex] og [tex]\log x[/tex] på begge sider (her må vi anta at [tex]x>1[/tex] ), slik at vi får
[tex]\frac{y}{x} = \frac{\log y}{\log x}[/tex]
For at høyre og venstre side skal være lik, må vi fjerne logaritmene på høyre side. Dersom [tex]y[/tex] er på formen [tex]x^a[/tex], så fungerer dette bra. Siden vi da får
[tex]\frac{x^a}{x} = \frac{\log(x^a)}{\log x}[/tex]
[tex]x^{a-1} = \frac{a \log x }{\log x}[/tex]
[tex]x^{a-1} = a[/tex]
Slik at vi får endelig at
[tex]x = \sqrt[a-1]{a}[/tex] og [tex]y = \sqrt[a-1]{a^a}[/tex]
Der [tex]a[/tex] er et positivt tall, større enn 1. Setter vi [tex]a=2[/tex] får vi løsningene [tex]x=2[/tex] og [tex]y=4[/tex] som du kom frem til =)
Tilslutt så kan det nevnes at disse er de eneste heltalls løsningene l, siden [tex] \sqrt[a-1]{a}[/tex] og [tex]\sqrt[a-1]{a^a}[/tex] er irrasjonale når [tex]a>2[/tex], men det beviset overlater jeg til noen andre. =)
En alternativ måte, som ikke består av så mye prøving og feiling er å bruke logaritmer.
Vi begynner med
[tex]x^y = y^x[/tex]
Så tar vi logaritmen på begge sider, og bruker at [tex]\log(x^y) = y \log(x)[/tex], slik at
[tex]y \log x = x \log y[/tex]
Nå deler vi med [tex]x[/tex] og [tex]\log x[/tex] på begge sider (her må vi anta at [tex]x>1[/tex] ), slik at vi får
[tex]\frac{y}{x} = \frac{\log y}{\log x}[/tex]
For at høyre og venstre side skal være lik, må vi fjerne logaritmene på høyre side. Dersom [tex]y[/tex] er på formen [tex]x^a[/tex], så fungerer dette bra. Siden vi da får
[tex]\frac{x^a}{x} = \frac{\log(x^a)}{\log x}[/tex]
[tex]x^{a-1} = \frac{a \log x }{\log x}[/tex]
[tex]x^{a-1} = a[/tex]
Slik at vi får endelig at
[tex]x = \sqrt[a-1]{a}[/tex] og [tex]y = \sqrt[a-1]{a^a}[/tex]
Der [tex]a[/tex] er et positivt tall, større enn 1. Setter vi [tex]a=2[/tex] får vi løsningene [tex]x=2[/tex] og [tex]y=4[/tex] som du kom frem til =)
Tilslutt så kan det nevnes at disse er de eneste heltalls løsningene l, siden [tex] \sqrt[a-1]{a}[/tex] og [tex]\sqrt[a-1]{a^a}[/tex] er irrasjonale når [tex]a>2[/tex], men det beviset overlater jeg til noen andre. =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Hei,
takk for svar!
Ja, jeg tenke også at logaritmer i utgangspunktet ville gjøre oppgaven enklere å løse. Det var bare det at oppgaven var den siste i delkapittelet om potensregning, så jeg antok at det var potensreglene som skulle ligge til grunn for besvarelsen.
takk for svar!
Ja, jeg tenke også at logaritmer i utgangspunktet ville gjøre oppgaven enklere å løse. Det var bare det at oppgaven var den siste i delkapittelet om potensregning, så jeg antok at det var potensreglene som skulle ligge til grunn for besvarelsen.